已知数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$ （$1 \leqslant a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$，$n \geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i$，$j$ （$1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$），$a_{i} a_{j}$ 与 $\frac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$.

(1) 分别判断集数 $\{1, 3, 4\}$ 与 $\{1, 2, 3, 6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由； (2) 证明：$a_{1}=1$，且 $\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$； (3) 证明：当 $n = 5$ 时，$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$ 成等比数列.