已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点是 $\left( 2,0 \right)$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 过点 $A\left( 1,1 \right)$，斜率为 $k$（$k\neq \pm 1$）的直线交椭圆 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D$，$DC$ 交 $y=x$ 于 $Q$，若 $\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}$，求 $k$.

已知椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$，焦距为 $2\sqrt2$. 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $A$，$B$.

(1) 求椭圆 $M$ 的方程； (2) 若 $k=1$，求 $\lvert AB\rvert$ 的最大值； (3) 设 $P(-2,0)$，直线 $PA$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $C$，直线 $PB$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $D$. 若 $C$，$D$ 和点 $Q\left(-\dfrac74,\dfrac14\right)$ 共线，求 $k$.

已知椭圆 $C: x^{2} + 3y^{2} = 3$，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $M$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率； (2) 若直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $BM$ 的斜率； (3) 试判断直线 $BM$ 与直线 $DE$ 的位置关系，并说明理由.