对于曲线 $C$, 若存在点 $M$, 使得对任意的点 $P \in C$, 都存在 $Q \in C$, 且 $|PM| \cdot |QM| = 1$, 则称曲线 $C$ 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）

椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $|A_1A_2| = 6$。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过 $(-1,0)$ 的直线交 $C$ 于 $M,N$, $MA_2$ 与 $NA_1$ 交于点 $P$, 证明 $P$ 在定直线上。