对于曲线 $C$, 若存在点 $M$, 使得对任意的点 $P \in C$, 都存在 $Q \in C$, 且 $|PM| \cdot |QM| = 1$, 则称曲线 $C$ 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）

双曲线 $C$ 中心在原点, 左焦点 $(-2\sqrt{5}, 0)$, 离心率 $\sqrt{5}$。

(1) 求 $C$ 方程;

(2) 过 $(-4, 0)$ 的直线交 $C$ 左支于 $M,N$, $M$ 在第二象限, $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于 $P$, 证明 $P$ 在定直线上。