已知抛物线 $\Gamma: y^2 = 4x$, $A$ 为第一象限内 $\Gamma$ 上的一点, 设点 $A$ 的纵坐标为 $a$.

(1) 若点 $A$ 到 $\Gamma$ 的准线的距离为 $3$, 求 $a$ 的值;

(2) 若 $a = 4$, $B$ 为 $x$ 轴上的一点, 且线段 $AB$ 的中点在 $\Gamma$ 上, 求点 $B$ 的坐标及原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离;

(3) 直线 $l: x = -3$, $P$ 是第一象限内 $\Gamma$ 上异于点 $A$ 的动点, 直线 $AP$ 与 $l$ 交于点 $Q$, 点 $H$ 为点 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足 $|HQ| > 4$ 对任意的点 $P$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

直线 $x - 2y + 1 = 0$ 与 $y^2 = 2px$ ($p > 0$) 交于 $A,B$, $|AB| = 4\sqrt{15}$。

(1) 求 $p$;

(2) $F$ 为焦点, $M,N$ 为 $C$ 上两点, $\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{NF} = 0$, 求 $\triangle MNF$ 面积最小值。

$P$ 到 $x$ 轴距离等于到 $(0,\frac{1}{2})$ 距离, 轨迹为 $W$。

(1) 求 $W$ 方程;

(2) 矩形 $ABCD$ 有三顶点在 $W$ 上, 证周长 $>3\sqrt{3}$。