设 $M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}$，$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. 从 $M$ 中选 $n$ 个有序数对构成一列 $(x_1,y_1)$，$\dots$，$(x_n,y_n)$. 若相邻两项满足 $|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4$，$|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3$，$i=1$，$\dots$，$n-1$，则该列称为 $k$ 列.

(1) 若 $k$ 列的第一项为 $(3,3)$，求第二项. (2) 若 $\tau$ 为 $k$ 列，且 $i$ 为奇数时 $x_i\in\{1,2,7,8\}$，$i$ 为偶数时 $x_i\in\{3,4,5,6\}$，判断 $(3,2)$ 与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中，并说明. (3) 证明 $M$ 中所有元素都不构成 $k$ 列.

已知集合 .

给定数列 $A:a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_8$，和序列 $\Omega:T_1$，$T_2$，$\cdots$，$T_s$，其中 $T_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M$（$t=1$，$2$，$\cdots$，$s$）. 对数列 $A$ 进行如下变换：将 $A$ 的第 $i_1$，$j_1$，$k_1$，$w_1$ 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 $T_1(A)$；将 $T_1(A)$ 的第 $i_2$，$j_2$，$k_2$，$w_2$ 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 $T_2T_1(A)$；……；以此类推，得到 $T_s\cdots T_2T_1(A)$，简记为 $\Omega(A)$.

(1) 给定数列 $A:1$，$3$，$2$，$4$，$6$，$3$，$1$，$9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7)$，$(2,4,6,8)$，$(1,3,5,7)$，写出 $\Omega(A)$； (2) 是否存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_1+2$，$a_2+6$，$a_3+4$，$a_4+2$，$a_5+8$，$a_6+2$，$a_7+4$，$a_8+4$？若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数，求证：“存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 的各项都相等”的充要条件为“$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$”.

已知 $Q:a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_k$ 为有穷整数数列. 给定正整数 $m$，若对任意的 $n\in\{1,2,\dots,m\}$，在 $Q$ 中存在 $a_i$，$a_{i+1}$，$\dots$，$a_{i+j}$（$j\ge 0$），使得 $a_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n$，则称 $Q$ 为 $m$-连续可表数列.

(1) 判断 $Q:2$，$1$，$4$ 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 $Q:a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_k$ 为 8-连续可表数列，求证：$k$ 的最小值为 4； (3) 若 $Q:a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_k$ 为 20-连续可表数列，且 $a_1+a_2+\dots+a_k<20$，求证：$k\ge 7$.

已知集合 $S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}$ （$n \geqslant 2$），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$，$B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)$； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$.

(1) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，有 $A - B \in S_n$，且 $d(A - C, B - C) = d(A, B)$； (2) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，$d(A, B)$，$d(A, C)$，$d(B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 $P \subseteq S_n$，$P$ 中有 $m$（$m \geqslant 2$） 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{d}(P)$. 证明： $\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}$.

已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}$（$k \geqslant 2$），其中 $a_{i} \in \mathbf{Z}$（$i = 1$，$2$，$\cdots$，$k$）. 由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：$S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}$；$T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}$，其中 $(a, b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$. 若对于任意的 $a \in A$，总有 $-a \notin A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$.

(1) 检验集合 $\{0, 1, 2, 3\}$ 与 $\{-1, 2, 3\}$ 是否具有性质 $P$，并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$. (2) 对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$，证明：$n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}$. (3) 判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论.