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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf(x) = x\mathrm{e}^x + ax + b，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程为 y=−2x+1y = -2x+1。
（1）求 aa，bb；
（2）当 x>0x > 0 时，f(x+m)−f(x)>mf(x+m) - f(x) > m，求 mm 的取值范围；
（3）当 x>0x > 0 时，f(x+k)+f(k−x)>2f(k)f(x+k) + f(k-x) > 2f(k)，求 kk 的最小值。

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20高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x) = e^x - \frac{2}{3}\sin x。
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 当 x∈[−13,+∞)x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x) \ge 1 + \frac{x}{3}；
(3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af(\frac{1}{1}) \cdot f(\frac{1}{2}) \cdot f(\frac{1}{3}) \cdots f(\frac{1}{n}) \ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n \in N^* 都成立。

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3, 其中 0<k<130 < k < \frac{1}{3}。
(1) 证明: f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设 x1,x2x_1, x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 的极值点和零点。
① 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)。证明: g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0, x_1) 单调递减;
② 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小, 并证明你的结论。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
(1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x 在区间 [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] 的最大值;
(2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi) 和 a∈Ra \in \mathbb{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a-\theta, a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta;
(3) 设 b∈Rb \in \mathbb{R}, 若存在 ϕ∈R\phi \in \mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+ϕ)≤b5\cos x - \cos(5x + \phi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbb{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

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19高考真题17分三角函数★★★★★
（1）求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbb{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y⩽cos⁡θ\cos y\leqslant\cos\theta；
（3）设 b∈Rb\in\mathbb{R}，若存在 φ∈R\varphi\in\mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)⩽b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b 对 x∈Rx\in\mathbb{R} 恒成立，求 bb 的最小值。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbb{R}, 函数 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x) = ax - (\ln x)^2。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有三个零点 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, 且 x1<x2<x3x_1 < x_2 < x_3,
① 求 aa 的取值范围;
② 求证: (ln⁡x2−ln⁡x1)ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

2025北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3. (1) 若 b=0b=0, 且 f′(x)≥0f'(x) \ge 0, 求 aa 的最小值; (2) 证明: 曲线 y=f(x)y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x)>−2f(x) > -2 当且仅当 1<x<21 < x < 2, 求 bb 的取值范围.

2024新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x. (1) 若 a=−2a = -2, 求 f(x)f(x) 的极值; (2) 当 x⩾0x \geqslant 0 时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围.

2024全国甲卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1), 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 切线为 ll。
(1) 求 ll 方程;
(2) 证 f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上唯一极大值点;
(3) 若 f(x)≤kxf(x) \le kx 在 (0,+∞)(0,+\infty) 恒成立, 求 kk 范围。

2023天津卷 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)。
（1）当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性；
（2）若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin 2x，求 aa 的取值范围。

2023全国甲卷理科 · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题18分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x.曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a1,f(a1))(a_1, f(a_1)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0, a_2), 且 a2>0a_2 > 0; 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a2,f(a2))(a_2, f(a_2)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0, a_3); 以此类推, 直至 am⩽0a_m \leqslant 0 时停止操作, 得到数列 {an}\{a_n\}, 其中 mm、nn 为正整数, 1<n⩽m1 < n \leqslant m.
(1) 证明: 当 n⩾2n \geqslant 2 时, an=ln⁡an−1−1a_n = \ln a_{n-1} - 1;
(2) 当 n⩾2n \geqslant 2 时, 试比较 ana_n 和 an−1−2a_{n-1} - 2 的大小, 并说明理由;
(3) 是否存在不小于 33 的正整数 kk, 使得 a1,a2,a3,⋯ ,aka_1, a_2, a_3, \cdots, a_k 成等差数列? 若存在, 求出 kk 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.

2023上海卷 · 第 21 题 · 解答题

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22高考真题15分导数及其应用★★★★★
(1) 证明 0<x<10 < x < 1 时 x−x2<sin⁡x<xx - x^2 < \sin x < x;
(2) f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x) = \cos ax - \ln(1 - x^2), 若 x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点, 求 aa 范围。

2023新高考II卷 · 第 22 题 · 解答题

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