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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+mx−4enx−1f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}（n∈Zn\in \mathbf{Z}），曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (−1,f(−1))\left( -1,f(-1) \right) 处的切线方程为 4x+e2y+e2+8=04x+\mathrm{e}^2y+\mathrm{e}^2+8=0.
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的极值点个数； (3) 求 y=kx−1y=kx-1（k>0k>0）与 f(x)f(x) 交点个数.

2026 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
函数 f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbf{R}，f(0)=0f(0)=0，f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}，l1l_1 为点 A(a,f(a))A(a,f(a))（a≠0a\ne0）处切线.
(1) f′(x)f'(x) 的最大值； (2) 证明：当 −1<a<0-1<a<0 时，除点 AA 外曲线 y=f(x)y=f(x) 在 l1l_1 上方； (3) 若 a>0a>0 时，过 AA 且与 l1l_1 垂直的 l2l_2 与 l1l_1 分别交 xx 轴于 x1x_1，x2x_2，求 2a−x1−x2x2−x1\dfrac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1} 的范围.

2025 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x)=x+k\ln(1+x)（k≠0k\ne 0），直线 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t))（t>0t>0）处的切线.
(1) 当 k=−1k=-1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求证：ll 不经过点 (0,0)(0,0)； (3) 当 k=1k=1 时，设点 A(t,f(t))A(t,f(t))（t>0t>0），C(0,f(t))C(0,f(t))，O(0,0)O(0,0)，BB 为 ll 与 yy 轴的交点，S△ACOS_{\triangle ACO} 与 S△ABOS_{\triangle ABO} 分别表示 △ACO\triangle ACO 与 △ABO\triangle ABO 的面积. 是否存在点 AA 使得 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} 成立？若存在，这样的点 AA 有几个？
（参考数据：1.09<ln⁡3<1.101.09<\ln 3<1.10，1.60<ln⁡5<1.611.60<\ln 5<1.61，1.94<ln⁡7<1.951.94<\ln 7<1.95）

2024 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x)=x-x^3\mathrm{e}^{ax+b}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y=-x+1.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，求 g(x)g(x) 的单调区间； (3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数.

2023 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x)=\mathrm{e}^x\ln(1+x).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的单调性； (3) 证明：对任意的 ss，t∈(0,+∞)t\in(0,+\infty)，有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s+t)>f(s)+f(t).

2022 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 a=b=4a=b=4，若函数 f(x)f(x) 有三个不同零点，求 cc 的取值范围； (3) 求证：a2−3b>0a^2-3b>0 是 f(x)f(x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.

2016 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=2x3−3xf(x) = 2x^{3} - 3x.
(1) 求 f(x)f(x) 在区间 [−2,1][-2,1] 上的最大值； (2) 若过点 P(1,t)P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x)y = f(x) 相切，求 tt 的取值范围； (3) 问过点 A(−1,2)A(-1,2)，B(2,10)B(2,10)，C(0,2)C(0,2) 分别存在几条直线与曲线 y=f(x)y = f(x) 相切？

2014 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 y=kxy = kx 与 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象相交于 A(x1,y1)A(x_1, y_1)，B(x2,y2)B(x_2, y_2). l1l_1，l2l_2 分别是 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象在 AA，BB 两点的切线，MM，NN 分别是 l1l_1，l2l_2 与 xx 轴的交点.
(1) 求 kk 的取值范围. (2) 设 tt 为点 MM 的横坐标，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，写出 tt 以 x1x_{1} 为自变量的函数式，并求其定义域和值域. (3) 试比较 ∣OM∣|OM| 与 ∣ON∣|ON| 的大小，并说明理由（OO 是坐标原点）.

2007 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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