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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

2026 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
已知函数 f(x)=∣x+a∣−a−xf(x)=|x+a|-a-x.
(1) 若 a=1a=1，求函数定义域； (2) 若 a≠0a\ne0，且 f(ax)=af(ax)=a 有 22 个不同实数根，求 aa 的取值范围； (3) 是否存在实数 aa，使得函数 f(x)f(x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出 aa 的取值范围.

2021 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知实数 a≠0a\neq0，设函数 f(x)=aln⁡x+x+1f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}，x>0x>0.
(1) 当 a=−34a=-\dfrac34 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意 x∈[1e2,+∞)x\in\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},+\infty\right) 均有 f(x)≤x2af(x)\le\dfrac{\sqrt x}{2a}，求 aa 的取值范围.
注：e=2.71828…\mathrm{e}=2.71828\ldots 为自然对数的底数.

2019 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
设 {an}\{a_n\} 是首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 b1b_1，公比为 qq 的等比数列.
(1) 设 a1=0a_1=0，b1=1b_1=1，q=2q=2，若 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=1n=1，22，33，44 均成立，求 dd 的取值范围； (2) 若 a1=b1>0a_1=b_1>0，m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，q∈(1,2m]q\in(1,\sqrt[m]{2}]，证明：存在 d∈Rd\in\mathbf{R}，使得 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=2n=2，33，⋯\cdots，m+1m+1 均成立，并求 dd 的取值范围（用 b1b_1，mm，qq 表示）.

2018 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列满足 ∣an−an+12∣≤1\left|a_n-\dfrac{a_{n+1}}{2}\right|\le 1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 求证：∣an∣≥2n−1(∣a1∣−2)|a_n|\ge 2^{n-1}\left( |a_1|-2 \right)，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*； (2) 若 ∣an∣≤(32)n|a_n|\le \left( \dfrac32 \right)^n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：∣an∣≤2|a_n|\le 2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2016 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C ⁣:x2a2+y2b2=1C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率是 32\dfrac{\sqrt3}{2}，抛物线 E ⁣:x2=2yE\colon x^2=2y 的焦点 FF 是 CC 的一个顶点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是 EE 上的动点，且位于第一象限，EE 在点 PP 处的切线 ll 与 CC 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 DD，直线 ODOD 与过 PP 且垂直于 xx 轴的直线交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 在定直线上； (ii) 直线 ll 与 yy 轴交于点 GG，记 △PFG\triangle PFG 的面积为 S1S_1，△PDM\triangle PDM 的面积为 S2S_2，求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 PP 的坐标.

2016 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>1x−e1−xf(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x} 在区间 (1,+∞)\left(1,+\infty\right) 内恒成立（e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数）.

2016 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，g(x)=1x−eexg(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}，e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1x>1 时，g(x)>0g(x)>0； (3) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立.

2016 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且点 (3,12)\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) 在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，bn=n(1+1n)nanb_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n（n∈N+n\in\mathbf{N}_+），e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=1+x−exf(x)=1+x-\mathrm{e}^x 的单调区间，并比较 (1+1n)n\left(1+\dfrac1n\right)^n 与 e\mathrm{e} 的大小； (2) 计算 b1a1\dfrac{b_1}{a_1}，b1b2a1a2\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}，b1b2b3a1a2a3\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}，由此推测计算 b1b2⋯bna1a2⋯an\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n} 的公式，并给出证明； (3) 令 cn=(a1a2⋯an)1nc_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}，数列 {an}\{a_n\}，{cn}\{c_n\} 的前 nn 项和分别记为 SnS_n，TnT_n，证明：Tn<eSnT_n<\mathrm{e} S_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
一种作图工具如左图所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如右图所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
对于数对序列 PP：(a1,b1)(a_1, b_1)，(a2,b2)(a_2, b_2)，⋯\cdots，(an,bn)(a_n, b_n)，记 T1(P)=a1+b1T_1(P) = a_1 + b_1，Tk(P)=bk+max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}T_k(P) = b_k + \max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n），其中 max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}\max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\} 表示 Tk−1(P)T_{k-1}(P) 和 a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k 两个数中最大的数.
(1) 对于数对序列 PP：(2,5)(2,5)，(4,1)(4,1)，求 T1(P)T_{1}(P)，T2(P)T_{2}(P) 的值. (2) 记 mm 为 aa，bb，cc，dd 四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 组成的数对序列 PP：(a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 和 P′P'：(c,d)(c, d)，(a,b)(a, b). 试分别对 m=am = a 和 m=dm = d 时两种情况比较 T2(P)T_{2}(P) 和 T2(P′)T_{2}(P') 的大小. (3) 在由 5 个数对5\text{ 个数对} (11,8)(11,8)，(5,2)(5,2)，(16,11)(16,11)，(11,11)(11,11)，(4,6)(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 PP 使 T5(P)T_{5}(P) 最小，并写出 T5(P)T_{5}(P) 的值. （只需写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★★
已知定义在 [0,1][0,1] 上的函数 f(x)f(x) 满足：
① f(0)=f(1)=0f(0) = f(1) = 0； ② 对所有 xx，y∈[0,1]y\in[0,1]，且 x≠yx \neq y，有 ∣f(x)−f(y)∣<12∣x−y∣|f(x) - f(y)| < \frac{1}{2} |x - y|.
若对所有 xx，y∈[0,1]y\in[0,1]，∣f(x)−f(y)∣<k|f(x) - f(y)| < k 恒成立，则 kk 的最小值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
12π\frac{1}{2\pi}
D.
18\frac{1}{8}

2014 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16不等式★★★★★
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+b2−c=04a^2 - 2ab + b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，1a+2b+4c\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 若 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 am=11000a_{m} = \frac{1}{1000}，求正整数 mm 的最小值，以及 mm 取最小值时相应 {an}\{a_{n}\} 的公比； (3) 若 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 成等差数列，求 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 的公差的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 n=2n=2 时的不等式，得 23⩽x⩽6\dfrac23\leqslant x\leqslant6. 由 n=3n=3 时的不等式，得 x3⩽9⩽3x\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x，即 3⩽x⩽273\leqslant x\leqslant27. 两个范围取交集，得到 x∈[3,6]x\in[3,6]. \item 设公比为 qq. 由 n=1n=1 时的条件，13⩽q⩽3\dfrac13\leqslant q\leqslant3，所以 q>0q>0. 因为 a1=1a_1=1，有 am=qm−1=10−3a_m=q^{m-1}=10^{-3}，故 q=10−3(m−1)q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}. 条件 q⩾13q\geqslant\dfrac13 等价于 103(m−1)⩽310^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3. 当 m=7m=7 时，q=10−12<13q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13，不满足条件；当 m=8m=8 时，q=10−37>13q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13，且 q<1<3q<1<3，满足上界条件. 因为 10−3(m−1)10^{-\frac{3}{(m-1)}} 随正整数 mm 增大而增大，故 m=7m=7 不可而 m=8m=8 可行，最小值为 88，相应公比为 q=10−37q=10^{-\frac{3}{7}}. \item 设公差为 dd，则 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d. 对 n=1n=1，22，…\ldots，9999，原条件分别等价于 an+d⩾an3a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3} 和 an+d⩽3ana_n+d\leqslant3a_n. 代入 ana_n 后，前一个不等式化为 (2n+1)d⩾−2(2n+1)d\geqslant-2，即 d⩾−22n+1d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}；后一个不等式化为 (3−2n)d⩽2(3-2n)d\leqslant2. 当 n=1n=1 时给出 d⩽2d\leqslant2，当 n⩾2n\geqslant2 时给出 d⩾−22n−3d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}. 前一组下界中，2n+12n+1 随 nn 增大而增大，故最强条件来自 n=99n=99，即 d⩾−2199d\geqslant-\dfrac{2}{199}. 对 n⩾2n\geqslant2，有 2n−3<2n+12n-3<2n+1，从而 −22n−3<−22n+1-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 d∈[−2199,2]d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3+3∣x−a∣f(x) = x^3 + 3|x - a|（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 若 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1, 1] 上的最大值和最小值分别记为 M(a)M(a)，m(a)m(a)，求 M(a)−m(a)M(a) - m(a)； (2) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若 [f(x)+b]2⩽4\left[f(x) + b\right]^2 \leqslant 4 对 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 恒成立，求 3a+b3a + b 的取值范围.

2014 · 浙江 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设实数 c>0c > 0，整数 p>1p > 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：当 x>−1x > -1 且 x≠0x \neq 0 时，(1+x)p>1+px(1 + x)^p > 1 + px； (2) 数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1>c1pa_1 > c^{\frac{1}{p}}，an+1=p−1pan+cpan1−pa_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}，证明：an>an+1>c1pa_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}.

2014 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x(1+a∣x∣)f(x) = x(1 + a|x|). 设关于 xx 的不等式 f(x+a)<f(x)f(x + a) < f(x) 的解集为 AA. 若 [−12,12]⊆A\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \subseteq A，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1−52,0)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)
B.
(1−32,0)\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)
C.
(1−52,0)∪(0,1+32)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)
D.
(−∞,1−52)\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)

2013 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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23不等式★★★★★
给定常数 c>0c>0，定义函数 f(x)=2∣x+c+4∣−∣x+c∣f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，…\ldots 满足 an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n)，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=−c−2a_1=-c-2，求 a2a_2 及 a3a_3； (2) 求证：对任意 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，an+1−an⩾ca_{n+1}-a_n\geqslant c； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 a1a_1，若不存在，说明理由.

2013 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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