对于数对序列 $P$：$(a_1, b_1)$，$(a_2, b_2)$，$\cdots$，$(a_n, b_n)$，记 $T_1(P) = a_1 + b_1$，$T_k(P) = b_k + \max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}$（$2 \leqslant k \leqslant n$），其中 $\max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}$ 表示 $T_{k-1}(P)$ 和 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ 两个数中最大的数.

(1) 对于数对序列 $P$：$(2,5)$，$(4,1)$，求 $T_{1}(P)$，$T_{2}(P)$ 的值. (2) 记 $m$ 为 $a$，$b$，$c$，$d$ 四个数中最小值，对于由两个数对 $(a, b)$，$(c, d)$ 组成的数对序列 $P$：$(a, b)$，$(c, d)$ 和 $P'$：$(c, d)$，$(a, b)$. 试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 时两种情况比较 $T_{2}(P)$ 和 $T_{2}(P')$ 的大小. (3) 在由 $5\text{ 个数对}$ $(11,8)$，$(5,2)$，$(16,11)$，$(11,11)$，$(4,6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 $T_{5}(P)$ 最小，并写出 $T_{5}(P)$ 的值. （只需写出结论）

已知 $f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2^x-2$. 若同时满足条件：

① $\forall x\in\mathbf{R}$，$f(x)<0$ 或 $g(x)<0$； ② $\exists x\in(-\infty,-4)$，$f(x)g(x)<0$，

则 $m$ 的取值范围是______.

设 $A$ 是由 $m\times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零. 记 $S(m,n)$ 为所有这样的数表构成的集合. 对于 $A\in S(m,n)$，记 $r_i(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（$1\le i\le m$），$c_j(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（$1\le j\le n$）；记 $k(A)$ 为 $|r_1(A)|$，$|r_2(A)|$，$\cdots$，$|r_m(A)|$，$|c_1(A)|$，$|c_2(A)|$，$\cdots$，$|c_n(A)|$ 中的最小值.

(1) 对如下数表 $A$，求 $k(A)$ 的值： (2) 设数表 $A\in S(2,3)$ 形如

求 $k(A)$ 的最大值； (3) 给定正整数 $t$，对于所有的 $A\in S(2,2t+1)$，求 $k(A)$ 的最大值.

设 $A$ 是如下形式的 2 行 3 列的数表，

满足性质 $P$：$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f \in [-1, 1]$，且 $a + b + c + d + e + f = 0$. 记 $r_i(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 （$i = 1$，$2$），$c_j(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 （$j = 1$，$2$，$3$）；记 $k(A)$ 为 $|r_1(A)|$，$|r_2(A)|$，$|c_1(A)|$，$|c_2(A)|$，$|c_3(A)|$ 中的最小值.

(1) 对如下数表 $A$，求 $k(A)$ 的值；

(2) 设数表 $A$ 形如

其中 $-1 \leqslant d \leqslant 0$. 求 $k(A)$ 的最大值； (3) 对所有满足性质 $P$ 的 2 行 3 列的数表 $A$，求 $k(A)$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 该数表的两行和分别为 $1.2$ 和 $-1.2$，三列和分别为 $1.1$，$0.7$ 和 $-1.8$. 所以 $k(A)=\min\{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8\}=0.7$.

\item 该数表的行和、列和分别为 $r_1=1-2d$，$r_2=-1+2d$，$c_1=c_2=1+d$，$c_3=-2-2d$. 因为 $-1\leqslant d\leqslant0$，有 $|r_1|=|r_2|=1-2d\geqslant1+d\geqslant0$，且 $|c_3|=2(1+d)\geqslant1+d$. 因此 $k(A)=1+d$，其最大值在 $d=0$ 时取得，最大值为 $1$.

\item 交换两行、交换三列以及同时将全部元素变号，都不改变 $k(A)$. 三个列和的总和为零，所以至少有两个列和同为非负数或同为非正数；通过交换列并在必要时将全部元素变号，可设所选两列为 $c_1\geqslant0$、$c_2\geqslant0$. 再交换两行，可设 $r_1\geqslant0$. 因而 $k(A)\leqslant r_1$，$k(A)\leqslant c_1$，$k(A)\leqslant c_2$，从而 所以 $k(A)\leqslant1$. 第（2）问取 $d=0$ 时，数表仍满足性质 $P$，且 $k(A)=1$，故所有满足性质 $P$ 的数表中 $k(A)$ 的最大值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}

设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = pn + q$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$p > 0$）. 数列 $\{b_{m}\}$ 定义如下：对于正整数 $m$，$b_{m}$ 是使得不等式 $a_{n} \geqslant m$ 成立的所有 $n$ 中的最小值.

(1) 若 $p = \frac{1}{2}$，$q = -\frac{1}{3}$，求 $b_{3}$； (2) 若 $p = 2$，$q = -1$，求数列 $\{b_m\}$ 的前 $2m$ 项和公式； (3) 是否存在 $p$ 和 $q$，使得 $b_{m} = 3m + 2$（$m \in \mathbf{N}^{*}$）？ 如果存在，求 $p$ 和 $q$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由.