集合 $M$ 包含特定四元组。对数列 $A$ 进行变换 $\Omega(A)$。

(1) 计算给定 $A$ 和 $\Omega$ 的结果; (2) 判断是否存在 $\Omega$ 使得 $A$ 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 $\Omega(A)$ 各项相等的充要条件。

已知数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 的项数均为 $m$ ($m > 2$), 且 $a_n, b_n \in \{1, 2, \dots, m\}$, $\{a_n\}, \{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n, B_n$, 并规定 $A_0 = B_0 = 0$。对于 $k \in \{0, 1, 2, \dots, m\}$, 定义 $r_k = \max \{i \mid B_i \le A_k, i \in \{0, 1, 2, \dots, m\}\}$。

(1) 若 $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 3$, 写出 $r_0, r_1, r_2, r_3$ 的值；

(2) 若 $a_1 \ge b_1$, 且 $2r_j \le r_{j+1} + r_{j-1}$, $j = 1, 2, \dots, m-1$, 求 $r_n$；

(3) 证明：存在 $p, q, s, t \in \{0, 1, 2, \dots, m\}$, 满足 $p > q, s > t$, 使得 $A_p + B_t = A_q + B_s$。