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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1，点 PP 在 Γ\Gamma 上，F1F_1，F2F_2 分别为双曲线的左，右焦点.
(1) 求点 (2,0)\left( 2,0 \right) 到 Γ\Gamma 渐近线的距离； (2) 若 PF1→⋅PF2→=1\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1，求 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积； (3) 记 Ω\Omega 为双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 中满足 （x>0x>0， y≥−1\ y\ge -1） 或 （x<0x<0， y≤−1\ y\le -1） 的部分. 过点 F2F_2 的直线 ll 交 Ω\Omega 于 PP，QQ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 F2F_2 的直线 mm 交 Ω\Omega 于 MM，NN 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 λ\lambda，使得对任意直线 ll，都存在唯一对应的直线 mm 满足 λ∣PQ∣=∣MN∣\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2026 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

2026 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 定义域为 R\mathbf{R}. 对于正实数 aa，定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x)}M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}.
(1) 若 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，判断 π3\dfrac{\pi}{3} 是否是 MπM_{\pi} 的元素，请说明理由； (2) 若 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<0x<0），f(0)=0f(0)=0，且当 x>0x>0 时 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，Ma≠∅M_a\neq\varnothing，求 aa 的取值范围； (3) 若 y=f(x)y=f(x) 是偶函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时 f(x)=1−xf(x)=1-x，且对任意 a∈(0,2)a\in(0,2)，有 Ma⊂M2M_a\subset M_2. 写出 f(x)f(x) 在 x∈(1,2)x\in(1,2) 的解析式，并证明：对任意实数 cc，函数 f(x)−cf(x)-c 在 [−3,3][-3,3] 上至多有9个零点.

2025 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

2024 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★★★
空间中有三个定点 AA，BB，CC，且 AB=BC=CA=1AB=BC=CA=1. 若在空间中任取 22 个不同的点，使它们与 AA，BB，CC 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法共有______ 种.

2023 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），F1(−2,0)F_1(-\sqrt2,0)，F2(2,0)F_2(\sqrt2,0) 为 Γ\Gamma 的焦点，AA 为 Γ\Gamma 的下顶点，MM 为直线 l:x+y−42=0l:x+y-4\sqrt2=0 上一点.
(1) 若 a=2a=2，且 AMAM 的中点在 xx 轴上，求点 MM 的坐标； (2) 若直线 ll 与 yy 轴的交点为 BB，直线 AMAM 经过点 F2F_2，且在 △ABM\triangle ABM 中有一内角的余弦值为 35\frac35，求 bb 的值； (3) 若 Γ\Gamma 上一点 PP 到 ll 的距离为 dd，且 ∣PF1∣+∣PF2∣+d=6|PF_1|+|PF_2|+d=6，求 dd 的最小值.

2022 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ:x22+y2=1\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1，F1F_1，F2F_2 是其左，右焦点，直线 ll 过点 P(m,0)P(m,0)（m≤−2m\le -\sqrt2），交椭圆于 AA，BB 两点，且 AA，BB 在 xx 轴上方，点 AA 在线段 BPBP 上.
(1) 若 BB 是上顶点，∣BF1→∣=∣PF1→∣\left| \overrightarrow{BF_1} \right|=\left| \overrightarrow{PF_1} \right|，求 mm 的值； (2) 若 F1A→⋅F2A→=13\overrightarrow{F_1A}\cdot \overrightarrow{F_2A}=\frac13，且原点 OO 到直线 ll 的距离为 41515\frac{4\sqrt{15}}{15}，求直线 ll 的方程； (3) 证明：对于任意 m<−2m<-\sqrt2，使得 F1A→∥F2B→\overrightarrow{F_1A}\parallel \overrightarrow{F_2B} 的直线有且仅有一条.

2021 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

2021 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ1:x24−y2b2=1\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 与圆 Γ2:x2+y2=4+b2\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2（b>0b>0）交于点 A(xA,yA)A(x_A,y_A)（第一象限），曲线 Γ\Gamma 为 Γ1\Gamma_1，Γ2\Gamma_2 上取满足 x>∣xA∣x>|x_A| 的部分.
(1) 若 xA=6x_A=\sqrt6，求 bb 的值； (2) 当 b=5b=\sqrt5，Γ2\Gamma_2 与 xx 轴交点记作点 F1F_1，F2F_2，PP 是曲线 Γ\Gamma 上一点，且在第一象限，且 ∣PF1∣=8|PF_1|=8，求 ∠F1PF2\angle F_1PF_2； (3) 过点 D(0,b22+2)D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right) 斜率为 −b2-\frac{b}{2} 的直线 ll 与曲线 Γ\Gamma 只有两个交点，记为 MM，NN，用 bb 表示 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}，并求 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} 的取值范围.

2020 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
给定无穷数列 {an}\{a_n\}，若无穷数列 {bn}\{b_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 ∣bn−an∣≤1\lvert b_n-a_n\rvert\le1，则称 {bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\}“接近”.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公比为 12\frac12 的等比数列，bn=an+1+1b_n=a_{n+1}+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否与 {an}\{a_n\} 接近，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的前四项为：a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a3=4a_3=4，a4=8a_4=8，{bn}\{b_n\} 是一个与 {an}\{a_n\} 接近的数列，记集合 M={x∣x=bi, i=1,2,3,4}M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}，求 MM 中元素的个数 mm； (3) 已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列. 若存在数列 {bn}\{b_n\} 满足：{bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\} 接近，且在 b2−b1b_2-b_1，b3−b2b_3-b_2，…\ldots，b201−b200b_{201}-b_{200} 中至少有 100100 个为正数，求 dd 的取值范围.

2018 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 Γ:x24+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1. AA 为 Γ\Gamma 的上顶点，PP 为 Γ\Gamma 上异于上，下顶点的动点，MM 为 xx 轴正半轴上的动点.
(1) 若 PP 在第一象限，且 ∣OP∣=2\lvert OP\rvert=\sqrt2，求 PP 的坐标； (2) 设 P(85,35)P\left(\dfrac85,\dfrac35\right)，若以 AA，PP，MM 为顶点的三角形是直角三角形，求 MM 的横坐标； (3) 若 ∣MA∣=∣MP∣\lvert MA\rvert=\lvert MP\rvert，直线 AQAQ 与 Γ\Gamma 交于另一点 CC，且 AQ→=2AC→\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}，PQ→=4PM→\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}，求直线 AQAQ 的方程.

2017 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对于任意的 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 x1<x2x_1<x_2 时，都有 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2).
(1) 若 f(x)=ax3+1f(x)=ax^3+1，求 aa 的取值范围； (2) 若 f(x)f(x) 为周期函数，证明：f(x)f(x) 是常值函数； (3) 设 f(x)f(x) 恒大于零，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，恒大于零的周期函数，MM 是 g(x)g(x) 的最大值. 函数 h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x). 证明：“h(x)h(x) 是周期函数”的充要条件是“f(x)f(x) 是常值函数”.

2017 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=λ<0a_1 = \lambda < 0，bn=λnb_n = \lambda^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求 λ\lambda 的取值范围，使得 {an}\{a_n\} 有最大值 MM 与最小值 mm，且 Mm∈(−2,2)\frac{M}{m} \in (-2, 2).

2015 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=3λ<0a_{1} = 3\lambda < 0，bn=λnb_{n} = \lambda^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求 λ\lambda 的取值范围，使得对任意 mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an≠0a_{n} \neq 0，且 aman∈(16,6)\frac{a_{m}}{a_{n}} \in \left(\frac{1}{6}, 6\right).

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