空间中有三个定点 $A$、$B$、$C$, 且 $AB = BC = CA = 1$.若在空间中任取 $2$ 个不同的点, 使得它们与 $A$、$B$、$C$ 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点, 则不同的取法共有______种.

对于曲线 $C$, 若存在点 $M$, 使得对任意的点 $P \in C$, 都存在 $Q \in C$, 且 $|PM| \cdot |QM| = 1$, 则称曲线 $C$ 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）

已知抛物线 $\Gamma: y^2 = 4x$, $A$ 为第一象限内 $\Gamma$ 上的一点, 设点 $A$ 的纵坐标为 $a$.

(1) 若点 $A$ 到 $\Gamma$ 的准线的距离为 $3$, 求 $a$ 的值;

(2) 若 $a = 4$, $B$ 为 $x$ 轴上的一点, 且线段 $AB$ 的中点在 $\Gamma$ 上, 求点 $B$ 的坐标及原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离;

(3) 直线 $l: x = -3$, $P$ 是第一象限内 $\Gamma$ 上异于点 $A$ 的动点, 直线 $AP$ 与 $l$ 交于点 $Q$, 点 $H$ 为点 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足 $|HQ| > 4$ 对任意的点 $P$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

已知 $f(x) = \ln x$.曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_1, f(a_1))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_2)$, 且 $a_2 > 0$; 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_2, f(a_2))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_3)$; 以此类推, 直至 $a_m \leqslant 0$ 时停止操作, 得到数列 $\{a_n\}$, 其中 $m$、$n$ 为正整数, $1 < n \leqslant m$.

(1) 证明: 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n = \ln a_{n-1} - 1$;

(2) 当 $n \geqslant 2$ 时, 试比较 $a_n$ 和 $a_{n-1} - 2$ 的大小, 并说明理由;

(3) 是否存在不小于 $3$ 的正整数 $k$, 使得 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k$ 成等差数列? 若存在, 求出 $k$ 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.