双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 以 $F_1F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点, 且 $\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}$, 则 （ ）

已知函数 $f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3$, 其中 $0 < k < \frac{1}{3}$。

(1) 证明: $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点;

(2) 设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 的极值点和零点。

① 设函数 $g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)$。证明: $g(t)$ 在区间 $(0, x_1)$ 单调递减;

② 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小, 并证明你的结论。

甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 $1$ 分, 负者得 $0$ 分。设每个球甲胜的概率为 $p$ ($\frac{1}{2} < p < 1$), 乙胜的概率为 $q$, $p + q = 1$, 且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \ge 2$, 记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $2$ 分的概率, $q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2$ 分的概率。

(1) 求 $p_3, p_4$ (用 $p$ 表示);

(2) 若 $\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4$, 求 $p$;

(3) 证明: 对任意正整数 $m$, $p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}$。