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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1），过 EE 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线被 EE 截得的线段长为 2\sqrt{2}.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设 OO 为坐标原点，给定点 G(t,0)G\left( t,0 \right)（t≠0t\ne 0）. A(x0,y0)A\left( x_0,y_0 \right)（y0≠0y_0\ne 0）为 EE 上的点，过 AA 作 yy 轴的垂线，垂足为 BB，直线 OAOA 与直线 GBGB 的交点为 PP，当 AA 在 EE 上运动时，点 PP 的轨迹为 MM.
(i) 求 MM 的方程； (ii) 当 tt 为何值时，MM 有对称中心？当 MM 有对称中心时，将 MM 平移后得到曲线 M′M'，使得 OO 为 M′M' 的对称中心，说明 M′M' 是什么曲线.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x}，x∈(0,π2)x\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right).
(1) 当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin2x 恒成立，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left( p,0 \right). 过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3|MF|=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left(p,0\right)，过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3\lvert MF\rvert=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
抛物线 CC 的顶点为坐标原点 OO，焦点在 xx 轴上，直线 l:x=1l:x=1 交 CC 于 PP，QQ 两点，且 OP⊥OQOP\perp OQ. 已知点 M(2,0)M(2,0)，且 ⊙M\odot M 与 ll 相切.
(1) 求 CC，⊙M\odot M 的方程； (2) 设 A1A_1，A2A_2，A3A_3 是 CC 上的三个点，直线 A1A2A_1A_2，A1A3A_1A_3 均与 ⊙M\odot M 相切. 判断直线 A2A3A_2A_3 与 ⊙M\odot M 的位置关系，并说明理由.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln⁡(1+x)−2xf(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x.
(1) 若 a=0a=0，证明：当 −1<x<0-1<x<0 时，f(x)<0f(x)<0；当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0； (2) 若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10平面向量★★★★★
在平面内，定点 AA，BB，CC，DD 满足 ∣DA→∣=∣DB→∣=∣DC→∣\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|，且 DA→⋅DB→=DB→⋅DC→=DC→⋅DA→=−2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2，动点 PP，MM 满足 ∣AP→∣=1\left|\overrightarrow{AP}\right|=1，PM→=MC→\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则 ∣BM→∣2\left|\overrightarrow{BM}\right|^2 的最大值是（ ）
\begin{solution} 令 u=DA→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{DA}，v=DB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{DB}，w=DC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{DC}，并设 ∣u∣2=∣v∣2=∣w∣2=r2|\boldsymbol{u}|^2=|\boldsymbol{v}|^2=|\boldsymbol{w}|^2=r^2.三个向量共面，故其 Gram 行列式为零：
det⁡(r2−2−2−2r2−2−2−2r2)=(r2−4)(r2+2)2=0\det\begin{pmatrix}r^2&-2&-2\\-2&r^2&-2\\-2&-2&r^2\end{pmatrix}=(r^2-4)(r^2+2)^2=0
因 r2>0r^2>0，故 r2=4r^2=4.又
∣u+v+w∣2=3r2+2(−2−2−2)=0|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|^2=3r^2+2(-2-2-2)=0
所以 u+v+w=\bs0\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\bs0.
设 z=AP→\boldsymbol{z}=\overrightarrow{AP}，则 ∣z∣=1|\boldsymbol{z}|=1，且由于 MM 是 PCPC 的中点，
BM→=u+z+w2−v=z−3v2\overrightarrow{BM}=\frac{\boldsymbol{u}+\boldsymbol{z}+\boldsymbol{w}}{2}-\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{z}-3\boldsymbol{v}}{2}
于是
∣BM→∣2=14(∣z∣2+9∣v∣2−6z⋅v)=14(37−6z⋅v)|\overrightarrow{BM}|^2=\frac14\left(|\boldsymbol{z}|^2+9|\boldsymbol{v}|^2-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\right)=\frac14(37-6\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v})
由 z⋅v≥−∣z∣∣v∣=−2\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\geq-|\boldsymbol{z}||\boldsymbol{v}|=-2，得
∣BM→∣2≤37+124=494|\overrightarrow{BM}|^2\leq\frac{37+12}{4}=\frac{49}{4}
当 z\boldsymbol{z} 与 v\boldsymbol{v} 反向时取等号，所以最大值为 494\dfrac{49}{4}，选 B. \end{solution}
A.
434\dfrac{43}{4}
B.
494\dfrac{49}{4}
C.
37+634\dfrac{37+6\sqrt3}{4}
D.
37+2334\dfrac{37+2\sqrt{33}}{4}

2016 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>1x−e1−xf(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x} 在区间 (1,+∞)\left(1,+\infty\right) 内恒成立（e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数）.

2016 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，g(x)=1x−eexg(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}，e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1x>1 时，g(x)>0g(x)>0； (3) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立.

2016 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2(x+a)ln⁡x+x2−2ax−2a2+af(x) = -2(x + a)\ln x + x^2 - 2ax - 2a^2 + a，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 求导得 g(x)=f′(x)=2x−2ln⁡x−2ax−2a−2g(x)=f'(x)=2x-2\ln x-\frac{2a}{x}-2a-2，g′(x)=2(1−1x+ax2)=2(x2−x+a)x2g'(x)=2\left(1-\frac1x+\frac a{x^2}\right)=\frac{2(x^2-x+a)}{x^2}. 当 0<a<140<a<\dfrac14 时，x2−x+a=0x^2-x+a=0 的两个根为 α=1−1−4a2\alpha=\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2，β=1+1−4a2\beta=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2. 因此 g(x)g(x) 在 (0,α)(0,\alpha) 和 (β,+∞)(\beta,+\infty) 上单调递增，在 (α,β)(\alpha,\beta) 上单调递减.
当 a⩾14a\geqslant\dfrac14 时，x2−x+a⩾0x^2-x+a\geqslant0，所以 g(x)g(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增. \item 对任意 a>0a>0，在 x>1x>1 时有
g′(x)=2(x2−x+a)x2>0g'(x)=\frac{2(x^2-x+a)}{x^2}>0
又 g(1)=−4a<0g(1)=-4a<0，且当 x→+∞x\to+\infty 时 g(x)→+∞g(x)\to+\infty，所以存在唯一的 c(a)>1c(a)>1 使 g(c(a))=0g(c(a))=0. 因而 ff 在 (1,c(a))(1,c(a)) 上递减，在 (c(a),+∞)(c(a),+\infty) 上递增，f(c(a))f(c(a)) 是 ff 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上的最小值.
令 Φ(a)=f(c(a))\Phi(a)=f(c(a)). 函数 g(x,a)g(x,a) 关于 xx，aa 连续，且在每个根 c(a)>1c(a)>1 处有 ∂g∂x=g′(c(a))>0\dfrac{\partial g}{\partial x}=g'(c(a))>0，所以唯一根 c(a)c(a) 随 aa 连续变化，从而 Φ(a)\Phi(a) 连续. 进一步，对任意固定的 δ>0\delta>0，有
g(1+δ,0)=2(δ−ln⁡(1+δ))>0g(1+\delta,0)=2\bigl(\delta-\ln(1+\delta)\bigr)>0
由连续性，当 a>0a>0 充分接近 00 时仍有 g(1+δ,a)>0g(1+\delta,a)>0. 又 g(1,a)<0g(1,a)<0，且 gg 在 x>1x>1 上递增，故 1<c(a)<1+δ1<c(a)<1+\delta，从而 c(a)→1c(a)\to1（a→0+a\to0^+）. 因此 Φ(a)→f(1,0)=1>0\Phi(a)\to f(1,0)=1>0. 另一方面，取 a=12a=\dfrac12，有 f(1)=0f(1)=0，且 g(1)=−2<0g(1)=-2<0，所以 ff 在 11 的右邻域内小于 00，即 Φ(12)<0\Phi\left(\dfrac12\right)<0. 由介值定理，存在 a0∈(0,12)⊂(0,1)a_0\in\left(0,\dfrac12\right)\subset(0,1) 使 Φ(a0)=0\Phi(a_0)=0.
对这个 a0a_0，函数 ff 先严格递减后严格递增，且在唯一极小点 c(a0)c(a_0) 处取值 00，所以 f(x)⩾0f(x)\geqslant0 在 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立，且 f(x)=0f(x)=0 在该区间内只有唯一解 x=c(a0)x=c(a_0). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10解析几何★★★★★
设直线 ll 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 相交于 AA，BB 两点，与圆 (x−5)2+y2=r2(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相切于点 MM，且 MM 为线段 ABAB 的中点. 若这样的直线 ll 恰有 44 条，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(1,3)(1, 3)
B.
(1,4)(1, 4)
C.
(2,3)(2, 3)
D.
(2,4)(2, 4)

2015 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，求 a 的取值范围.

2014 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，证明：e−2<a<1\mathrm{e} - 2 < a < 1.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item g(x)=f′(x)=ex−2ax−bg(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x-2ax-b，且 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增. 若 a⩽12a\leqslant\frac12，则 g′(x)⩾0g'(x)\geqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(0)=1−bg(0)=1-b. 若 \frac12<a<\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)=0g'(x)=0 的解 x0=ln⁡(2a)x_0=\ln(2a) 在 (0,1)(0,1) 内，故最小值为
g(x0)=2a−2aln⁡(2a)−bg(x_0)=2a-2a\ln(2a)-b
若 a\geqslant\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)⩽0g'(x)\leqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(1)=e−2a−bg(1)=\mathrm{e}-2a-b. 综上，最小值为
\begin{cases} 1-b, & a\leqslant\frac12,\\ 2a-2a\ln(2a)-b, & \frac12<a<\frac\mathrm{e}2,\\ \mathrm{e}-2a-b, & a\geqslant\frac\mathrm{e}2. \end{cases}
\item 由 f(1)=0f(1)=0，得 a+b=e−1a+b=\mathrm{e}-1，即 b=e−1−ab=\mathrm{e}-1-a. 又 f(0)=0f(0)=0，设题设中 (0,1)(0,1) 内的零点为 x0x_0. 对区间 [0,x0][0,x_0] 和 [x0,1][x_0,1] 分别使用罗尔定理，得 g=f′g=f' 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点.
由于 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增，且 gg 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点，罗尔定理表明 g′g' 在这两个零点之间有一个零点. 因而 gg 在该点左侧递减、右侧递增，两个零点之外函数值严格为正，从而 g(0)>0g(0)>0，g(1)>0g(1)>0. 因此 g(0)=1−b=a+2−e>0g(0)=1-b=a+2-\mathrm{e}>0，g(1)=e−2a−b=1−a>0g(1)=\mathrm{e}-2a-b=1-a>0. 于是 e−2<a<1\mathrm{e}-2<a<1. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a} （a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若曲线 y=sin⁡xy = \sin x 上存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 使得 f(f(y0))=y0f(f(y_0)) = y_0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1, \mathrm{e}]
B.
[e−1−1,1][\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
C.
[1,1+e][1, 1 + \mathrm{e}]
D.
[e−1−1,e+1][\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]

2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a>b>0）的两个焦点分别为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，且椭圆 CC 经过点 P(43,13)P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right).
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 设过点 A(0,2)A(0,2) 的直线 ll 与椭圆 CC 交于 MM，NN 两点，点 QQ 是线段 MNMN 上的点，且 2∣AQ∣2=1∣AM∣2+1∣AN∣2\frac{2}{|AQ|^2} = \frac{1}{|AM|^2} + \frac{1}{|AN|^2}，求点 QQ 的轨迹方程.

2013 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a, & x < 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1, f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2, f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1 < x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_{2} < 0，求 x2−x1x_{2} - x_{1} 的最小值； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 A，B 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x-a}（a∈Ra\in\mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若存在 b∈[0,1]b\in[0,1] 使 f(f(b))=bf(f(b))=b 成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1,\mathrm{e}]
B.
[1,1+e][1,1+\mathrm{e}]
C.
[e,1+e][\mathrm{e},1+\mathrm{e}]
D.
[0,1][0,1]

2013 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16数列★★★★★
记 [x][x] 为不超过实数 xx 的最大整数，例如，[2][2] = 22，[1.5][1.5] = 11，[−0.3][{-0.3}] = −1-1. 设 aa 为正整数，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=ax_1 = a，xn+1=[xn+[axn]2]x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），现有下列命题：
① 当 a=5a=5 时，数列 {xn}\{x_n\} 的前3项依次为 55，33，22； ② 对数列 {xn}\{x_n\} 都存在正整数 kk，当 n⩾kn\geqslant k 时总有 xn=xkx_n=x_k； ③ 当 n⩾1n\geqslant1 时，xn>a−1x_n>\sqrt a-1； ④ 对某个正整数 kk，若 xk+1⩾xkx_{k+1}\geqslant x_k，则 xk=[a]x_k=[\sqrt a].
其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）

2012 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21解析几何★★★★★
如图，动点 MM 与两定点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0) 构成 △MAB\triangle MAB，且 ∠MBA=2∠MAB\angle MBA = 2\angle MAB，设动点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹 CC 的方程； (2) 设直线 y=−2x+my = -2x + m 与 yy 轴相交于点 PP，与轨迹 CC 相交于点 QQ，RR，且 ∣PQ∣<∣PR∣|PQ| < |PR|，求 ∣PR∣∣PQ∣\frac{|PR|}{|PQ|} 的取值范围.

2012 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA，设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处切的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾n3n3+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n^3}{n^3 + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 ∑k=1n1f(k)−f(2k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k) - f(2k)} 与 274⋅f(1)−f(n)f(0)−f(1)\frac{27}{4} \cdot \frac{f(1) - f(n)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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