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19数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，a2=b1+b2a_2=b_1+b_2，a4=b3−b1a_4=b_3-b_1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 En={x∈R∣x≤n, ∃k∈N∗, x=ak 或 x=bk}E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数.
(i) 求 c3nc_{3^n}； (ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m.

2026 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 当 x∈[−13,+∞)x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x)\ge 1+\frac{x}{3}； (3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^* 都成立.

2026 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

2025 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★★
若函数 f(x)=2x2−ax−∣ax−2∣+1f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1 恰有一个零点，则 aa 的取值范围为______.

2024 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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19数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 是公比大于 0 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=1a_1=1，S2=a3−1S_2=a_3-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n； (2) 设 bn=kb_n=k（n=akn=a_k），bn=bn−1+2kb_n=b_{n-1}+2k（ak<n<ak+1a_k<n<a_{k+1}），其中 k∈N∗k\in \mathbb N^*.
(i) 当 k≥2k\ge 2，n=ak+1n=a_{k+1} 时，求证：bn−1≥akbnb_{n-1}\ge a_k b_n； (ii) 求 ∑i=1Snbi\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i.

2024 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x.
(1) 求 f(x)f(x) 图象上点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)≥a(x−x)f(x)\ge a(x-\sqrt{x}) 在 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) 时恒成立，求 aa 的值； (3) 若 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，证明 ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣x1−x2∣12|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}.

2024 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x)=\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right)\ln(x+1).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处切线的斜率； (2) 当 x>0x>0 时，证明：f(x)>1f(x)>1； (3) 证明： 56<ln⁡(n!)−(n+12)ln⁡n+n≤1\frac{5}{6}<\ln(n!)-\left( n+\frac{1}{2} \right)\ln n+n\le 1

2023 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ex−asin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-a\sin x，g(x)=bxg(x)=b\sqrt{x}.
(1) 求函数 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 有公共点，
(i) 当 a=0a=0 时，求 bb 的取值范围； (ii) 求证：a2+b2>ea^2+b^2>\mathrm{e}.

2022 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2021 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 a>0a>0，函数 f(x)=ax−xexf(x)=ax-x\mathrm{e}^x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 证明 f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (3) 若存在 aa，使得 f(x)≤a+bf(x)\le a+b 对任意 x∈Rx\in \mathbf{R} 成立，求实数 bb 的取值范围.

2021 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+kln⁡xf(x)=x^3+k\ln x（k∈Rk\in\mathbf{R}），f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 当 k=6k=6 时，
(i) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (ii) 求函数 g(x)=f(x)−f′(x)+9xg(x)=f(x)-f'(x)+\dfrac9x 的单调区间和极值； (2) 当 k≥−3k\ge-3 时，求证：对任意的 x1x_1，x2∈[1,+∞)x_2\in[1,+\infty)，且 x1>x2x_1>x_2，有 f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2\dfrac{f'(x_1)+f'(x_2)}{2}>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}.

2020 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=excos⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 x∈[π4,π2]x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)≥0f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0； (3) 设 xnx_n 为函数 u(x)=f(x)−1u(x)=f(x)-1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2)\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right) 内的零点，其中 n∈Nn\in \mathbf{N}，证明 2nπ+π2−xn<e−2nπsin⁡x0−cos⁡x02n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}.

2019 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−a(x−1)exf(x)=\ln x-a(x-1)\mathrm{e}^x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 若 a≤0a\le0，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 0<a<\dfrac1\mathrm{e}，
(i) 证明 f(x)f(x) 恰有两个零点； (ii) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极值点，x1x_1 为 f(x)f(x) 的零点，且 x1>x0x_1>x_0，证明 3x0−x1>23x_0-x_1>2.

2019 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=axf(x)=a^x，g(x)=log⁡axg(x)=\log_a x，其中 a>1a>1.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−xln⁡ah(x)=f(x)-x\ln a 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1)) 处的切线与曲线 y=g(x)y=g(x) 在点 (x2,g(x2))(x_2,g(x_2)) 处的切线平行，证明 x1+g(x2)=−2ln⁡ln⁡aln⁡ax_1+g(x_2)=-\frac{2\ln\ln a}{\ln a}； (3) 证明当 a\ge \mathrm{e}^{\frac1\mathrm{e}} 时，存在直线 ll，使 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线，也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.

2018 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中 t1t_1，t2t_2，t3∈Rt_3\in\mathbf{R}，且 t1t_1，t2t_2，t3t_3 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 若 t2=0t_2=0，d=1d=1，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 d=3d=3，求 f(x)f(x) 的极值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63y=-(x-t_2)-6\sqrt3 有三个互异的公共点，求 dd 的取值范围.

2018 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈Za\in\mathbf{Z}. 已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2x4+3x3−3x2−6x+af(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a 在区间 (1,2)(1,2) 内有一个零点 x0x_0，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间； (2) 设 m∈[1,x0)∪(x0,2]m\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，函数 h(x)=g(x)(m−x0)−f(m)h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)，求证：h(m)h(x0)<0h(m)h(x_0)<0； (3) 求证：存在大于 00 的常数 AA，使得对于任意的正整数 pp，qq，且 pq∈[1,x0)∪(x0,2]\dfrac{p}{q}\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，满足 ∣pq−x0∣≥1Aq4\left|\dfrac{p}{q}-x_0\right|\ge \dfrac{1}{Aq^4}.

2017 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c,0)，右顶点为 AA，点 EE 的坐标为 (0,c)(0,c)，△EFA\triangle EFA 的面积为 b22\dfrac{b^2}{2}.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设点 QQ 在线段 AEAE 上，∣FQ∣=32c|FQ|=\dfrac32c，延长线段 FQFQ 与椭圆交于点 PP，点 MM，NN 在 xx 轴上，PM∥QNPM\parallel QN，且直线 PMPM 与直线 QNQN 间的距离为 cc，四边形 PQNMPQNM 的面积为 3c3c.
(i) 求直线 FPFP 的斜率； (ii) 求椭圆的方程.

2017 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0,f(x)=\begin{cases} x^2+(4a-3)x+3a,&x<0,\\ \log_a(x+1)+1,&x\ge 0, \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x\lvert f(x)\rvert=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0,\dfrac23\right]
B.
[23,34]\left[\dfrac23,\dfrac34\right]
C.
[13,23]∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right]\cup\left\{\dfrac34\right\}
D.
[13,23)∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right)\cup\left\{\dfrac34\right\}

2016 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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19解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于点 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH. 若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA≤∠MAO\angle MOA\le\angle MAO，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−1)3−ax−bf(x)=(x-1)^3-ax-b（x∈Rx\in\mathbf{R}，其中 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 存在极值点 x0x_0，且 f(x1)=f(x0)f(x_1)=f(x_0)，其中 x1≠x0x_1\neq x_0，求证：x1+2x0=3x_1+2x_0=3； (3) 设 a>0a>0，函数 g(x)=∣f(x)∣g(x)=\lvert f(x)\rvert，求证：g(x)g(x) 在区间 [0,2][0,2] 上的最大值不小于 14\dfrac14.

2016 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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14函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0f(x)=\begin{cases} x^2+\left( 4a-3 \right)x+3a, & x<0,\\ \log_a\left( x+1 \right)+1, & x\ge 0 \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\ne 1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x3|f(x)|=2-\frac{x}{3} 恰有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2016 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3−ax−bf(x)=x^3-ax-b，x∈Rx\in \mathbf{R}，其中 aa，b∈Rb\in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 存在极值点 x0x_0，且 f(x1)=f(x0)f(x_1)=f(x_0)，其中 x1≠x0x_1\ne x_0，求证：x1+2x0=0x_1+2x_0=0； (3) 设 a>0a>0，函数 g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|，求证：g(x)g(x) 在区间 [−1,1][-1,1] 上的最大值不小于 14\dfrac14.

2016 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c, 0)，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，点 MM 在椭圆上且位于第一象限，直线 FMFM 被圆 x2+y2=b24x^2 + y^2 = \frac{b^2}{4} 截得的线段的长为 cc，∣FM∣=433|FM| = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求直线 FMFM 的斜率； (2) 求椭圆的方程； (3) 设动点 PP 在椭圆上，若直线 FPFP 的斜率大于 2\sqrt{2}，求直线 OPOP（OO 为原点）的斜率的取值范围.

2015 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=nx−xnf(x) = nx - x^n，x∈Rx \in \mathbf{R}. 其中 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 n⩾2n \geqslant 2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴正半轴的交点为 PP，曲线在点 PP 处的切线方程为 y=g(x)y = g(x). 求证：对于任意的正实数 xx，都有 f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)； (3) 若关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a（aa 为实数）有两个正实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，求证： ∣x2−x1∣<a1−n+2|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2.

2015 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的上顶点为 BB，左焦点为 FF，离心率为 55\frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求直线 BFBF 的斜率； (2) 设直线 BFBF 与椭圆交于点 PP（PP 异于点 BB），过点 BB 且垂直于 BPBP 的直线与椭圆交于点 QQ（QQ 异于点 BB），直线 PQPQ 与 yy 轴交于点 MM，∣PM∣=λ∣MQ∣|PM| = \lambda |MQ|.
(i) 求 λ\lambda 的值； (ii) 若 ∣PM∣sin⁡∠BQP=759|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}，求椭圆的方程.

2015 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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