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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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116分三角函数★★★★★
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 14\frac{1}{4}，若 cos⁡2A+cos⁡2B+2sin⁡C=2\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2，cos⁡Acos⁡Bsin⁡C=14\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}，则（ ）
A.
sin⁡C=sin⁡2A+sin⁡2B\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B
B.
AB=2AB = \sqrt{2}
C.
sin⁡A+sin⁡B=62\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}
D.
AC2+BC2=3AC^2 + BC^2 = 3

2025 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
一种作图工具如图 1 所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，bn=n(1+1n)nanb_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n（n∈N+n\in\mathbf{N}_+），e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=1+x−exf(x)=1+x-\mathrm{e}^x 的单调区间，并比较 (1+1n)n\left(1+\dfrac1n\right)^n 与 e\mathrm{e} 的大小； (2) 计算 b1a1\dfrac{b_1}{a_1}，b1b2a1a2\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}，b1b2b3a1a2a3\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}，由此推测计算 b1b2⋯bna1a2⋯an\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n} 的公式，并给出证明； (3) 令 cn=(a1a2⋯an)1nc_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}，数列 {an}\{a_n\}，{cn}\{c_n\} 的前 nn 项和分别记为 SnS_n，TnT_n，证明：Tn<eSnT_n<\mathrm{e} S_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
一种作图工具如左图所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如右图所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★★
如图所示，函数 y=f(x)y = f(x) 的图象由两条射线和三条线段组成.
若 ∀x∈R\forall x\in \mathbf{R}，f(x)>f(x−1)f(x) > f(x - 1)，则正实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm > n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda = \frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2}，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll 使得 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2} 并说明理由.

2013 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设 nn 为正整数，rr 为正有理数.
(1) 求函数 f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1（x>−1x > -1）的最小值； (2) 证明： nr+1−(n−1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1−nr+1r+1\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}； (3) 设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记 [x][x] 为不小于 xx 的最小整数，例如 [2]=2[2] = 2，[π]=4[\pi] = 4，[3−2]=−1\left[\frac{3}{-2}\right] = -1. 令 S=813+823+833+⋯+1253S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}，求 [S][S] 的值.（参考数据： 8043≈344.780^{\frac{4}{3}} \approx 344.7，8143≈350.581^{\frac{4}{3}} \approx 350.5，12443≈618.3124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3，12643≈631.7126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7）

2013 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm>n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda=\frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_1=\lambda S_2，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll，使得 S1=λS2S_1=\lambda S_2？并说明理由.

2013 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=rx−xr+(1−r)f(x) = rx - x^{r} + (1 - r) （x>0x > 0），其中 rr 为有理数，且 0<r<10 < r < 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1⩾0a_{1} \geqslant 0，a2⩾0a_{2} \geqslant 0，b1b_{1}，b2b_{2} 为正有理数. 若 b1+b2=1b_{1} + b_{2} = 1，则 a1b1a2b2⩽a1b1+a2b2a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 α\alpha 为正有理数时，有求导公式 (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 AA 是单位圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上的任意一点，ll 是过点 AA 与 xx 轴垂直的直线，DD 是直线 ll 与 xx 轴的交点，点 MM 在直线 ll 上，且满足 ∣DM∣=m∣DA∣|DM| = m|DA| （m>0m > 0 且 m≠1m \neq 1）. 当点 AA 在圆上运动时，记点 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求曲线 CC 的方程，判断曲线 CC 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 kk 的直线交曲线 CC 于 PP，QQ 两点，其中 PP 在第一象限，它在 yy 轴上的射影为点 NN，直线 QNQN 交曲线 CC 于另一点 HH. 是否存在 mm，使得对任意的 k>0k > 0，都有 PQ⊥PHPQ \perp PH？ 若存在，求 mm 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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