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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1），过 EE 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线被 EE 截得的线段长为 2\sqrt{2}.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设 OO 为坐标原点，给定点 G(t,0)G\left( t,0 \right)（t≠0t\ne 0）. A(x0,y0)A\left( x_0,y_0 \right)（y0≠0y_0\ne 0）为 EE 上的点，过 AA 作 yy 轴的垂线，垂足为 BB，直线 OAOA 与直线 GBGB 的交点为 PP，当 AA 在 EE 上运动时，点 PP 的轨迹为 MM.
(i) 求 MM 的方程； (ii) 当 tt 为何值时，MM 有对称中心？当 MM 有对称中心时，将 MM 平移后得到曲线 M′M'，使得 OO 为 M′M' 的对称中心，说明 M′M' 是什么曲线.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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12解析几何★★★★★
已知圆 OO 的半径为 1，直线 PAPA 与 OO 相切于 AA，PB‾∩PC‾\overline{PB}\cap\overline{PC} 与 OO 相交于 BB，CC，DD 为 BCBC 中点，若 PO=2PO=2，则 PA⋅PDPA\cdot PD 的最大值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
1+21+\sqrt2
D.
2+22+\sqrt2

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 多选题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 是否存在 aa，bb，使得曲线 y=f(1x)y=f\left( \frac1x \right) 关于直线 x=bx=b 对称，若存在，求 aa，bb 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 存在极值，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★★★
已知 x=x1x=x_1 和 x=x2x=x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x)=2a^x-\mathrm{e} x^2（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1<x_2，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:x2=2pyC:x^2=2py（p>0p>0）的焦点为 FF，且 FF 与圆 M:x2+(y+4)2=1M:x^2+(y+4)^2=1 上点的距离的最小值为 44.
(1) 求 pp； (2) 若点 PP 在 MM 上，PAPA，PBPB 是 CC 的两条切线，AA，BB 是切点，求 △PAB\triangle PAB 面积的最大值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2.
(1) 若 a=1a=1，证明：当 x≥0x\ge0 时，f(x)≥1f(x)\ge1； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 只有一个零点，求 aa.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=xf′(x)g(x) = xf'(x)，x⩾0x \geqslant 0，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 令 g1(x)=g(x)g_{1}(x) = g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))g_{n + 1}(x) = g(g_{n}(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，求 gn(x)g_{n}(x) 的表达式. (2) 若 f(x)⩾αg(x)f(x) \geqslant \alpha g(x) 恒成立，求实数 α\alpha 的取值范围. (3) 设 n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n)g(1) + g(2) + \cdots + g(n) 与 n−f(n)n - f(n) 的大小，并加以证明.

2014 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x+mxf(x) = \ln x + \frac{m}{x}，m∈Rm \in \mathbf{R}.
(1) 当 m=em = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，求 f(x)f(x) 的极小值； (2) 讨论函数 g(x)=f′(x)−x3g(x) = f'(x) - \frac{x}{3} 零点的个数； (3) 若对任意 b>a>0b > a > 0，f(b)−f(a)b−a<1\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 1 恒成立，求 mm 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 m=em=\mathrm{e} 时，x>0x>0，且
f′(x)=1x−ex2=x−ex2f'(x)=\frac1x-\frac{\mathrm{e}}{x^2}=\frac{x-\mathrm{e}}{x^2}
因此 f′(x)<0f'(x)<0 在 (0,e)(0,\mathrm{e}) 上成立，f′(x)>0f'(x)>0 在 (e,+∞)(\mathrm{e},+\infty) 上成立，故 x=ex=\mathrm{e} 处取得极小值. 其值为
f(e)=ln⁡e+ee=1+1=2f(\mathrm{e})=\ln\mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=1+1=2
\item x>0x>0 时
g(x)=1x−mx2−x3g(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}
由于 3x2>03x^2>0，g(x)=0g(x)=0 等价于
m=φ(x):=x−x33m=\varphi(x):=x-\frac{x^3}{3}
又
φ′(x)=1−x2\varphi'(x)=1-x^2
所以 φ\varphi 在 (0,1)(0,1) 上递增，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递减，且 φ(0+)=0\varphi(0^+)=0，φ(1)=23\varphi(1)=\frac23，φ(x)→−∞\varphi(x)\to-\infty（x→+∞x\to+\infty）. 因此，当 m>23m>\frac23 时有 00 个零点；当 m=23m=\frac23 或 m⩽0m\leqslant0 时有 11 个零点；当 0<m<230<m<\frac23 时有 22 个零点. \item 令 h(x)=f(x)−xh(x)=f(x)-x. 题设不等式等价于对任意 b>a>0b>a>0 有 h(b)<h(a)h(b)<h(a)，即 hh 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递减. 求导得
h′(x)=1x−mx2−1=−x2−x+mx2h'(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-1=-\frac{x^2-x+m}{x^2}
当 m⩾14m\geqslant\frac14 时，
x2−x+m=(x−12)2+m−14⩾0x^2-x+m=\left(x-\frac12\right)^2+m-\frac14\geqslant0
所以 h′(x)⩽0h'(x)\leqslant0，且至多在一个点取零. 对任意 b>a>0b>a>0，h(b)−h(a)=∫abh′(x) dx<0h(b)-h(a)=\int_a^b h'(x)\,\mathrm dx<0，故 hh 严格递减，题设成立.
当 m<14m<\frac14 时，x2−x+mx^2-x+m 在 x=12x=\frac12 处为负，故在该点附近 h′(x)>0h'(x)>0，可以取 b>a>0b>a>0 使 h(b)>h(a)h(b)>h(a)，题设不成立. 因此
m∈[14,+∞)m\in\left[\frac14,+\infty\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 若直线 y=kx+1y=kx+1 与 f(x)f(x) 的反函数的图象相切，求实数 kk 的值； (2) 设 x>0x>0，讨论曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=mx2y=mx^2（m>0m>0）公共点的个数； (3) 设 a<ba<b，比较 f(a)+f(b)2\dfrac{f(a)+f(b)}{2} 与 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_n(x) = x^n + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点； (2) 设 nn 为偶数，∣fn(−1)∣⩽1|f_n(-1)| \leqslant 1，∣fn(1)∣⩽1|f_n(1)| \leqslant 1，求 b+3cb + 3c 的最小值和最大值； (3) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围.

2012 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)f(x) 定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上，f(1)=0f(1) = 0，导函数 f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}，g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x).
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间和最小值； (2) 讨论 g(x)g(x) 与 g(1x)g\left(\frac{1}{x}\right) 的大小关系； (3) 是否存在 x0>0x_0 > 0，使得 ∣g(x)−g(x0)∣<12|g(x) - g(x_0)| < \frac{1}{2} 对任意 x>0x > 0 成立？若存在，求出 x0x_0 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2011 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}，g(x)=aln⁡xg(x) = a \ln x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 相交，且在交点处有共同的切线，求 aa 的值和该切线方程； (2) 设函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x)，当 h(x)h(x) 存在最小值时，求其最小值 φ(a)\varphi(a) 的解析式； (3) 对上一问中的 φ(a)\varphi(a) 和任意的 a>0a > 0，b>0b > 0，证明：φ′(a+b2)⩽φ′(a)+φ′(b)2⩽φ′(2aba+b)\varphi'\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{\varphi'(a) + \varphi'(b)}{2} \leqslant \varphi'\left(\frac{2ab}{a + b}\right).

2010 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(ax+1)+1−x1+xf\left(x\right) = \ln\left(ax + 1\right) + \frac{1 - x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，其中 a>0a > 0.
(1) 若 f(x)f\left(x\right) 在 x=1x = 1 处取得极值，求 aa 的值； (2) 求 f(x)f\left(x\right) 的单调区间； (3) 若 f(x)f\left(x\right) 的最小值为 1，求 aa 的取值范围.

2009 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=12x_{1} = \frac{1}{2}，xn+1=11+xnx_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 猜想数列 {x2n}\{x_{2n}\} 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： ∣xn+1−xn∣⩽16(25)n−1\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
(1) 已知双曲线 CC 的方程为 y2a2−x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0），离心率 e=52e = \frac{\sqrt{5}}{2}，顶点到渐近线的距离为 255\frac{2\sqrt{5}}{5}； (2) 如图，PP 是双曲线 CC 上一点，AA，BB 两点在双曲线 CC 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP→=λPB→\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}，λ∈[13,2]\lambda\in\left[\frac{1}{3},2\right]，求 △AOB\triangle AOB 面积的取值范围.

2009 · 陕西 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=35a_1 = \frac{3}{5}，an+1=3an2an+1a_{n+1} = \frac{3a_n}{2a_n + 1}，n=1n = 1，22，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对任意的 x>0x > 0，an⩾11+x−1(1+x)2(23n−x)a_{n} \geqslant \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} \left( \frac{2}{3^{n}} - x \right)，n=1n = 1，22，⋯\cdots； (3) 证明：a1+a2+⋯+an>n2n+1a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}.

2008 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3−x2+x2+14f(x) = x^3 - x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}，且存在 x0∈(0,12)x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)，使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的单调增函数； (2) 设 x1=0x_{1} = 0，xn+1=f(xn)x_{n + 1} = f(x_{n})，y1=12y_{1} = \frac{1}{2}，yn+1=f(yn)y_{n + 1} = f(y_{n})，其中 n=1n = 1，22，…\dots，证明：xn<xn+1<x0<yn+1<ynx_{n} < x_{n + 1} < x_0 < y_{n + 1} < y_{n}； (3) 证明： yn+1−xn+1yn−xn<12\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{y_{n}-x_{n}}<\frac{1}{2}.

2006 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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