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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★★
若函数 f(x)=2x2−ax−∣ax−2∣+1f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1 恰有一个零点，则 aa 的取值范围为______.

2024 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★★
空间中有三个定点 AA，BB，CC，且 AB=BC=CA=1AB=BC=CA=1. 若在空间中任取 22 个不同的点，使它们与 AA，BB，CC 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法共有______ 种.

2023 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知空间向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 都是单位向量，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}，OA→⊥OC→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 60∘60^\circ. 若 PP 为空间任意一点，且 ∣OP→∣=1\left|\overrightarrow{OP}\right|=1，满足 ∣OP→⋅OC→∣≤∣OP→⋅OB→∣≤∣OP→⋅OA→∣\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|，则 OP→⋅OC→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC} 的最大值为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★★
已知 x=x1x=x_1 和 x=x2x=x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x)=2a^x-\mathrm{e} x^2（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1<x_2，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12三角函数★★★★★
已知 θ>0\theta>0，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^*，总存在实数 φ\varphi，使得 cos⁡(nθ+φ)<32\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}，则 θ\theta 的最小值是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的两个周期函数，f(x)f(x) 的周期为 44，g(x)g(x) 的周期为 22，且 f(x)f(x) 是奇函数. 当 x∈(0,2]x\in(0,2] 时，f(x)=1−(x−1)2f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}，
g(x)={k(x+2),0<x≤1,−12,1<x≤2,g(x)=\begin{cases} k(x+2),&0<x\le 1,\\ -\dfrac12,&1<x\le 2, \end{cases}
其中 k>0k>0. 若在区间 (0,9](0,9] 上，关于 xx 的方程 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 有 88 个不同的实数根，则 kk 的取值范围是______.
\begin{answer} [13,24)\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right) \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={x∣x=2n−1, n∈N∗}A=\{x\mid x=2n-1,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=2n, n∈N∗}B=\{x\mid x=2^n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 将 A∪BA\cup B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 {an}\{a_n\}. 记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，则使得 Sn>12an+1S_n>12a_{n+1} 成立的 nn 的最小值为______.

2018 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 11 的函数，在区间 [0,1)[0,1) 上，
f(x)={x2,x∈D,x,x∉D,f(x)=\begin{cases} x^2,&x\in D,\\ x,&x\notin D, \end{cases}
其中 D={x∣x=n−1n, n∈N∗}D=\left\{x\mid x=\dfrac{n-1}{n},\ n\in \mathbf{N}^*\right\}，则方程 f(x)−lg⁡x=0f(x)-\lg x=0 的解的个数是______.

2017 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0f(x)=\begin{cases} x^2+\left( 4a-3 \right)x+3a, & x<0,\\ \log_a\left( x+1 \right)+1, & x\ge 0 \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\ne 1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x3|f(x)|=2-\frac{x}{3} 恰有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2016 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★★★
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，若对任意单位向量 e\boldsymbol{e}，均有 ∣a⋅e∣+∣b⋅e∣≤6|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{e}|\le \sqrt6，则 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} 的最大值是______.

2016 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★★
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+b2−c=04a^2 - 2ab + b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，1a+2b+4c\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★★★★
已知两个不相等的非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，两组向量 x1\boldsymbol{x}_{1}，x2\boldsymbol{x}_{2}，x3\boldsymbol{x}_{3}，x4\boldsymbol{x}_{4}，x5\boldsymbol{x}_{5} 和 y1\boldsymbol{y}_{1}，y2\boldsymbol{y}_{2}，y3\boldsymbol{y}_{3}，y4\boldsymbol{y}_{4}，y5\boldsymbol{y}_{5} 均由 2 个 a\boldsymbol{a} 和 3 个 b\boldsymbol{b} 排列而成，记 S=x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4+x5⋅y5S = \boldsymbol{x}_{1} \cdot \boldsymbol{y}_{1} + \boldsymbol{x}_{2} \cdot \boldsymbol{y}_{2} + \boldsymbol{x}_{3} \cdot \boldsymbol{y}_{3} + \boldsymbol{x}_{4} \cdot \boldsymbol{y}_{4} + \boldsymbol{x}_{5} \cdot \boldsymbol{y}_{5}. Smin⁡S_{\min} 表示 SS 所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① SS 有 5 个不同的值； ② 若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 Smin⁡S_{\min} 与 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 无关； ③ 若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 Smin⁡S_{\min} 与 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 无关； ④ 若 ∣b∣>4∣a∣|\boldsymbol{b}| > 4|\boldsymbol{a}|，则 Smin⁡>0S_{\min} > 0； ⑤ 若 ∣b∣=2∣a∣|\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|，Smin⁡=8∣a∣2S_{\min} = 8|\boldsymbol{a}|^2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 π4\frac{\pi}{4}.
\begin{solution} 把每个向量的五个分量看作五个位置. 设 MM 是所有五对 (xi,yi)(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{y}_i) 中两个对应分量同时为 a\boldsymbol{a} 的位置总数. 因为五个 xi\boldsymbol{x}_i 中共有 1010 个 a\boldsymbol{a} 分量，所以在 xi\boldsymbol{x}_i 中为 a\boldsymbol{a}、而在 yi\boldsymbol{y}_i 中为 b\boldsymbol{b} 的位置共有 10−M10-M 个；同理，在 xi\boldsymbol{x}_i 中为 b\boldsymbol{b}、而在 yi\boldsymbol{y}_i 中为 a\boldsymbol{a} 的位置也有 10−M10-M 个. 再由五对向量共有 2525 个对应位置，两个分量均为 b\boldsymbol{b} 的位置数为 5+M5+M.
因此 S=M∣a∣2+2(10−M)a⋅b+(5+M)∣b∣2=5∣b∣2+20a⋅b+M∣a−b∣2S=M\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+2(10-M)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+(5+M)\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+M\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}. 因 a≠b\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{b}，有 ∣a−b∣2>0\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}>0. 每一对向量中两个 a\boldsymbol{a} 的位置交集可有 00，11，22 个；五对向量的排列彼此独立，因此取若干对使交集分别为 22，至多再取一对使交集为 11，其余取 00，即可使总数 MM 取得 00 到 1010 的每一个整数. 因而 SS 实际有 1111 个不同的值，命题 \circled1\circled{1} 错误，且 Smin⁡=5∣b∣2+20a⋅bS_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 Smin⁡=5∣b∣2S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}，与 ∣a∣\lvert\boldsymbol{a}\rvert 无关，命题 \circled2\circled{2} 正确. 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 a⋅b=±∣a∣∣b∣\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\pm\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert，所得 Smin⁡=5∣b∣2±20∣a∣∣b∣S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}\pm20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert 仍与 ∣b∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert 有关，命题 \circled3\circled{3} 错误. 若 ∣b∣>4∣a∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert>4\lvert\boldsymbol{a}\rvert，由柯西不等式得 Smin⁡⩾5∣b∣2−20∣a∣∣b∣=5∣b∣(∣b∣−4∣a∣)>0S_{\min}\geqslant5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}-20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert(\lvert\boldsymbol{b}\rvert-4\lvert\boldsymbol{a}\rvert)>0，命题 \circled4\circled{4} 正确. 若 ∣b∣=2∣a∣\lvert\boldsymbol{b}\rvert=2\lvert\boldsymbol{a}\rvert 且 Smin⁡=8∣a∣2S_{\min}=8\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}，则 a⋅b=−35∣a∣2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac35\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}，从而夹角余弦为 −310-\dfrac{3}{10}，不等于 cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4}，命题 \circled5\circled{5} 错误. 所以正确命题的编号为 \circled2\circled{2}\circled4\circled{4}，故填 \circled2\circled4\circled{2}\circled{4}. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★★
如图所示，函数 y=f(x)y = f(x) 的图象由两条射线和三条线段组成.
若 ∀x∈R\forall x\in \mathbf{R}，f(x)>f(x−1)f(x) > f(x - 1)，则正实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ax+bx−cxf(x) = a^x + b^x - c^x，其中 c>a>0c > a > 0，c>b>0c > b > 0.
(1) 记集合 M={(a,b,c)∣a,b,cM = \{(a, b, c) \mid a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b}a = b\}，则 (a,b,c)∈M(a, b, c) \in M 所对应的 f(x)f(x) 的零点的取值集合为______； (2) 若 aa，bb，cc 是 △ABC\triangle ABC 的三条边长，则下列结论正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
① ∀x∈(−∞,1)\forall x \in (-\infty, 1)，f(x)>0f(x) > 0； ② ∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，使 axa^{x}，bxb^{x}，cxc^{x} 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形，则 ∃x∈(1,2)\exists x \in (1, 2)，使 f(x)=0f(x) = 0.

2013 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2g(x)=2^x-2. 若同时满足条件：
① ∀x∈R\forall x\in\mathbf{R}，f(x)<0f(x)<0 或 g(x)<0g(x)<0； ② ∃x∈(−∞,−4)\exists x\in(-\infty,-4)，f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0，
则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★★
如图，ADAD 与 BCBC 是四面体 ABCDABCD 中互相垂直的棱，BC=2BC = 2. 若 AD=2cAD = 2c，且 AB+BD=AC+CD=2aAB + BD = AC + CD = 2a，其中 aa，cc 为常数，则四面体 ABCDABCD 的体积的最大值是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★★
设 N=2nN=2^n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n⩾2n\geqslant2），将 NN 个数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xNx_N 依次放入编号为 11，22，⋯\cdots，NN 的 NN 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯xNP_0=x_1x_2\cdots x_N. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 N2\frac{N}{2} 和后 N2\frac{N}{2} 个位置，得到排列 P1=x1x3⋯xN−1x2x4⋯xNP_1=x_1x_3\cdots x_{N-1}x_2x_4\cdots x_N，将此操作称为 CC 变换. 将 P1P_1 分成两段，每段 N2\frac{N}{2} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 P2P_2；当 2⩽i⩽n−22\leqslant i\leqslant n-2 时，将 PiP_i 分成 2i2^i 段，每段 N2i\frac{N}{2^i} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 Pi+1P_{i+1}. 例如，当 N=8N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8P_2=x_1x_5x_3x_7x_2x_6x_4x_8，此时 x7x_7 位于 P2P_2 中的第 44 个位置.
(1) 当 N=16N=16 时，x7x_7 位于 P2P_2 中的第______个位置； (2) 当 N=2nN=2^n（n⩾8n\geqslant8）时，x173x_{173} 位于 P4P_4 中的第______个位置.

2012 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★★
记 [x][x] 为不超过实数 xx 的最大整数，例如，[2][2] = 22，[1.5][1.5] = 11，[−0.3][{-0.3}] = −1-1. 设 aa 为正整数，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=ax_1 = a，xn+1=[xn+[axn]2]x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），现有下列命题：
① 当 a=5a=5 时，数列 {xn}\{x_n\} 的前3项依次为 55，33，22； ② 对数列 {xn}\{x_n\} 都存在正整数 kk，当 n⩾kn\geqslant k 时总有 xn=xkx_n=x_k； ③ 当 n⩾1n\geqslant1 时，xn>a−1x_n>\sqrt a-1； ④ 对某个正整数 kk，若 xk+1⩾xkx_{k+1}\geqslant x_k，则 xk=[a]x_k=[\sqrt a].
其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）

2012 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★★★★
设圆 CC 位于抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 与直线 x=3x = 3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 CC 的半径能取到的最大值为______. \begin{answer} 6−1\sqrt{6} - 1 \end{answer}
\begin{solution} 记封闭区域为 Ω={(x,y):y2⩽2x, x⩽3}\Omega=\{(x,y):y^2\leqslant2x,\ x\leqslant3\}. 该区域关于 xx 轴对称且为凸集，因此若半径为 rr 的圆面位于其中，关于 xx 轴反射后再取两个圆心的中点，仍可得到位于区域内的同半径圆面. 故不妨设圆心为 (h,0)(h,0).
由直线 x=3x=3 的限制，得 h+r⩽3h+r\leqslant3. 对圆周上的点写成 x=h+rux=h+ru，y=rvy=rv，其中 u2+v2=1u^2+v^2=1. 要使圆面位于抛物线 y2=2xy^2=2x 的右侧，需要对所有 −1⩽u⩽1-1\leqslant u\leqslant1 有 h+ru⩾r2v22=r2(1−u2)2h+ru\geqslant\frac{r^2v^2}{2}=\frac{r^2(1-u^2)}{2}，即 h⩾r22(1−u2)−ruh\geqslant\frac{r^2}{2}(1-u^2)-ru. 当 r⩾1r\geqslant1 时，右端关于 uu 的最大值在 u=−1ru=-\frac{1}{r} 处取得，最大值为 r2+12\frac{r^2+1}{2}. 半径小于 11 时不可能达到下面构造的半径 6−1>1\sqrt{6}-1>1，所以求最大值时可取 r⩾1r\geqslant1. 于是 r2+12⩽h⩽3−r\frac{r^2+1}{2}\leqslant h\leqslant3-r，从而 r2+2r−5⩽0r^2+2r-5\leqslant0，故 r⩽6−1r\leqslant\sqrt{6}-1.
取 r=6−1r=\sqrt{6}-1，h=3−r=4−6h=3-r=4-\sqrt{6}. 此时 r2+12=4−6=h\frac{r^2+1}{2}=4-\sqrt{6}=h，上述两个边界条件同时满足，所得圆面确实位于 Ω\Omega 内. 因此半径能取到的最大值为 6−1\sqrt{6}-1. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的轨迹方程是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★★
将函数 y=4+6x−x2−2y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2（x∈[0,6]x \in [0, 6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ\theta（0⩽θ⩽α0 \leqslant \theta \leqslant \alpha），得到曲线 CC. 若对于每一个旋转角 θ\theta，曲线 CC 都是一个函数的图象，则 α\alpha 的最大值为______.

2009 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★★
某人有 44 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 66 个点 AA，BB，CC， A1A_{1}， B1B_{1}， C1C_{1} 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色. 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有______ 种.

2008 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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