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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x}，x∈(0,π2)x\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right).
(1) 当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin2x 恒成立，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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12解析几何★★★★★
已知圆 OO 的半径为 1，直线 PAPA 与 OO 相切于 AA，PB‾∩PC‾\overline{PB}\cap\overline{PC} 与 OO 相交于 BB，CC，DD 为 BCBC 中点，若 PO=2PO=2，则 PA⋅PDPA\cdot PD 的最大值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
1+21+\sqrt2
D.
2+22+\sqrt2

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 多选题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 是否存在 aa，bb，使得曲线 y=f(1x)y=f\left( \frac1x \right) 关于直线 x=bx=b 对称，若存在，求 aa，bb 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 存在极值，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x)=x-x^3\mathrm{e}^{ax+b}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y=-x+1.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，求 g(x)g(x) 的单调区间； (3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数.

2023 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的项数均为 mm（m>2m>2），且 ana_n，bn∈{1,2,…,m}b_n\in\{1,2,\dots,m\}，{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和分别为 AnA_n，BnB_n，并规定 A0=B0=0A_0=B_0=0. 对于 k∈{0,1,2,…,m}k\in\{0,1,2,\dots,m\}，定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak, i∈{0,1,2,…,m}}r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}，其中，max⁡M\max M 表示数集 MM 中最大的数.
(1) 若 a1=2a_1=2，a2=1a_2=1，a3=3a_3=3，b1=1b_1=1，b2=3b_2=3，b3=3b_3=3，求 r0r_0，r1r_1，r2r_2，r3r_3 的值； (2) 若 a1≥b1a_1\ge b_1，且 2rj≤rj+1+rj−12r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}（j=1j=1，22，…\dots，m−1m-1），求 rnr_n； (3) 证明：存在 pp，qq，ss，t∈{0,1,2,…,m}t\in\{0,1,2,\dots,m\}，满足 p>qp>q，s>ts>t，使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p+B_t=A_q+B_s.

2023 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x)=\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right)\ln(x+1).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处切线的斜率； (2) 当 x>0x>0 时，证明：f(x)>1f(x)>1； (3) 证明： 56<ln⁡(n!)−(n+12)ln⁡n+n≤1\frac{5}{6}<\ln(n!)-\left( n+\frac{1}{2} \right)\ln n+n\le 1

2023 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★★★
空间中有三个定点 AA，BB，CC，且 AB=BC=CA=1AB=BC=CA=1. 若在空间中任取 22 个不同的点，使它们与 AA，BB，CC 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法共有______ 种.

2023 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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12平面向量★★★★★
已知空间向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 都是单位向量，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}，OA→⊥OC→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 60∘60^\circ. 若 PP 为空间任意一点，且 ∣OP→∣=1\left|\overrightarrow{OP}\right|=1，满足 ∣OP→⋅OC→∣≤∣OP→⋅OB→∣≤∣OP→⋅OA→∣\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|，则 OP→⋅OC→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC} 的最大值为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ:x2m2+y23=1\Gamma:\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1 （m>0m>0， m≠3\ m\neq \sqrt3）.
(1) 若 m=2m=2，求椭圆 Γ\Gamma 的离心率； (2) 设 A1A_1，A2A_2 为椭圆 Γ\Gamma 的左右顶点，若椭圆 Γ\Gamma 上一点 EE 的纵坐标为 11，且 EA1→⋅EA2→=−2\overrightarrow{EA_1}\cdot\overrightarrow{EA_2}=-2，求 mm 的值； (3) 若 PP 为椭圆 Γ\Gamma 上一点，过点 PP 作一条斜率为 3\sqrt3 的直线与双曲线 y25m2−x25=1\frac{y^2}{5m^2}-\frac{x^2}{5}=1 仅有一个公共点，求 mm 的取值范围.

2023 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax3−(a+1)x2+xf(x)=ax^3-(a+1)x^2+x，g(x)=kx+mg(x)=kx+m，其中 a≥0a\ge 0，kk，m∈Rm\in \mathbf{R}，若任意 x∈[0,1]x\in[0,1] 均有 f(x)≤g(x)f(x)\le g(x)，则称函数 y=g(x)y=g(x) 是函数 y=f(x)y=f(x) 的控制函数，且对于所有满足条件的函数 y=g(x)y=g(x) 在 xx 处取得的最小值记为 fˉ(x)\bar f(x).
(1) 若 a=2a=2，g(x)=xg(x)=x，试问 y=g(x)y=g(x) 是否为 y=f(x)y=f(x) 的控制函数； (2) 若 a=0a=0，使得直线 y=h(x)y=h(x) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=14x=\frac14 处的切线，证明：函数 y=h(x)y=h(x) 为函数 y=f(x)y=f(x) 的控制函数，并求 fˉ(14)\bar f\left(\frac14\right) 的值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_0（x0∈(0,1)x_0\in(0,1)）处的切线过点 (1,0)(1,0)，且 c∈[x0,1]c\in[x_0,1]，证明：当且仅当 c=x0c=x_0 或 c=1c=1 时，fˉ(c)=f(c)\bar f(c)=f(c).

2023 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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