数迹
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01数列★★★☆☆
设有数列 1+2x+3x2+4x3+⋯1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots.
(1) 写出这个数列的第 nn 项； (2) 写出这个数列的前 nn 项和的公式； (3) 问这个和的公式当 x=1x=1 时能否成立？如能成立，说明理由；如不能成立，怎样求和？

1958 · 湖北 · 第 1 题 · 解答题

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02三角函数★★☆☆☆
设 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 的三个内角，求证：tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C.

1958 · 湖北 · 第 2 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
解 (log⁡x5)2+log⁡x(55)+54=0\left( \log_x\sqrt{5} \right)^{2}+\log_x\left(5\sqrt{5}\right)+\frac{5}{4}=0.

1958 · 湖北 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 是 BCBC 的中线，而且 ∠B\angle B 和 ∠CAD\angle CAD 互为余角，问 △ABC\triangle ABC 是怎样的三角形.

1958 · 湖北 · 第 4 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
在直角三角形所在平面外取一点 PP，而且 PP 点和三角形三个顶点的距离都是相等的，证明，连接 PP 点和三角形斜边中点的直线垂直于这个三角形所在的平面.

1958 · 湖北 · 第 5 题 · 解答题

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06计数原理与组合数学★★★★☆
比较 (2120)100\left( \frac{21}{20} \right)^{100} 与 100100 的大小.

1958 · 湖北 · 第 6 题 · 解答题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
如 α2+b2=7αb\alpha^{2}+b^{2}=7\alpha b，求证 lg⁡(α+b3)=12(lg⁡α+lg⁡b)\lg\left( \frac{\alpha+b}{3} \right)=\frac{1}{2}\left( \lg\alpha+\lg b \right).

1958 · 湖北 · 第 7 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知方程式 x3+Px2+qx+γ=0x^{3}+Px^{2}+qx+\gamma=0 的三根 α\alpha，bb，cc 成调合级数（即 1α−1b=1b−1c\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}），求 α\alpha，bb，cc.

1958 · 湖北 · 第 8 题 · 解答题

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