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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣−2⩽x⩽3}A = \{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 3\}，B={x∣x<−1 或 x>4}B = \{x \mid x < -1\text{ 或 }x > 4\}，则集合 A∩BA \cap B 等于（ ）
A.
{x∣x⩽3 或 x>4}\{x\mid x\leqslant 3\text{\ 或\ }x > 4\}
B.
{x∣−1<x⩽3}\{x\mid -1 < x\leqslant 3\}
C.
{x∣3⩽x<4}\{x\mid 3\leqslant x < 4\}
D.
{x∣−2⩽x<−1}\{x\mid -2\leqslant x < -1\}

2008 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=log⁡3π<b=log⁡76a = \log_3 \pi < b = \log_7 6，c=log⁡20.8c = \log_2 0.8，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
c>a>bc > a > b
D.
b>c>ab > c > a

2008 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
“双曲线的方程为 x29−y216=1\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 ”是“双曲线的准线方程为 x=±95x=\pm\frac{9}{5} ”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，a=2a = \sqrt{2}，b=3b = \sqrt{3}，B=60∘B = 60^{\circ}，那么角 AA 等于（ ）
A.
135∘135^{\circ}
B.
90∘90^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
30∘30^{\circ}

2008 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=(x−1)2+1f(x) = (x - 1)^2 + 1（x<1x < 1）的反函数为（ ）
A.
f−1(x)=1+x−1f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}（x>1x > 1）
B.
f−1(x)=1−x−1f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x - 1}（x>1x > 1）
C.
f−1(x)=1+x−1f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}（x⩾1x \geqslant 1）
D.
f−1(x)=1−x−1f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x - 1}（x⩾1x \geqslant 1）

2008 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x−y+1⩾0,x+y⩾0,x⩽0,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y \geqslant 0,\\ x \leqslant 0, \end{cases}
则 z=x+2yz = x + 2y 的最小值是（ ）
A.
0
B.
12\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2008 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a2=6a_{2} = 6，a5=15a_{5} = 15，若 bn=a2nb_{n} = a_{2n}，则数列 {bn}\{b_{n}\} 的前5项和等于（ ）
A.
30
B.
45
C.
90
D.
186

2008 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
如图，动点 PP 在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的对角线 BD1BD_{1} 上. 过点 PP 作垂直于平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的直线，与正方体表面相交于 MNMN. 设 BP=xBP = x，MN=yMN = y，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
若角 α\alpha 的终边经过点 P(1,−2)P(1, -2)，则 tan⁡2α\tan 2\alpha 的值为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
不等式 x−1x+2>1\frac{x - 1}{x + 2} > 1 的解集是______.

2008 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=∣b∣=4|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 4，那么 a⋅b\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 的值为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x3)5\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{5} 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______. （用数字作答）

2008 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 AA，BB，CC 的坐标分别为 (0,4)(0,4)，(2,0)(2,0)，(6,4)(6,4)，则 f(f(0))=f(f(0)) =______；函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处的导数 f′(1)=f'(1) =______.

2008 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−cos⁡xf(x) = x^2 - \cos x，对于 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的任意 x1x_1，x2x_2，有如下条件：
① x1>x2x_1 > x_2； ② x12>x22x_1^2 > x_2^2； ③ ∣x1∣>x2|x_1| > x_2.
其中能使 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) 恒成立的条件序号是______.
某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 kk 棵树种植在点 Pk(xk,yk)P_k(x_k,y_k) 处，其中 x1=1x_1=1，y1=1y_1=1. 当 k⩾2k\geqslant2 时，
{xk=xk−1+1−5[T(k−15)−T(k−25)],yk=yk−1+T(k−15)−T(k−25).\begin{cases} x_k=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right)\right],\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\dfrac{k-1}{5}\right)-T\left(\dfrac{k-2}{5}\right). \end{cases}
T(a)T(a) 表示非负实数 aa 的整数部分，例如 T(2.6)=2T(2.6)=2，T(0.2)=0T(0.2)=0. 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为______；第2008棵树种植点的坐标应为______.

2008 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx+3sin⁡ωxsin⁡(ωx+π2)f(x) = \sin^2\omega x + \sqrt{3}\sin \omega x\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{2}\right)（ω>0\omega > 0）的最小正周期为 π\pi.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,2π3]\left[0, \frac{2\pi}{3}\right] 上的取值范围.

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，AC=BC=2AC = BC = 2，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，AP=BP=ABAP = BP = AB，PC⊥ACPC \perp AC.
(1) 求证：PC⊥ABPC \perp AB； (2) 求二面角 B−AP−CB - AP - C 的大小.

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+3bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + 3bx + c（b≠0b \neq 0），且 g(x)=f(x)−2g(x) = f(x) - 2 是奇函数.
(1) 求 aa，cc 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间.

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18计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙等五名奥运志愿者被随机地分到 AA，BB，CC，DD 四个不同的岗位服务. 每个岗位至少有一名志愿者.
(1) 求甲，乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲，乙两人不在同一个岗位服务的概率.

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19解析几何★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的顶点 AA，BB 在椭圆 x2+3y2=4x^{2} + 3y^{2} = 4 上，CC 在直线 l:y=x+2l: y = x + 2 上，且 AB∥lAB \parallel l.
(1) 当 ABAB 边通过坐标原点 OO 时，求 ABAB 的长及 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 当 ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，且斜边 ACAC 的长最大时，求 ABAB 所在直线的方程.

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20数列★★★★★
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=(n2+n−λ)ana_{n+1} = (n^2 + n - \lambda)a_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots），λ\lambda 是常数.
(1) 当 a2=−1a_{2} = -1 时，求 λ\lambda 及 a3a_{3} 的值； (2) 数列 {an}\{a_n\} 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； (3) 求 λ\lambda 的取值范围，使得存在正整数 mm，当 n>mn > m 时总有 an<0a_{n} < 0.

2008 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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