“双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ”是“双曲线的准线方程为 $x=\pm\frac{9}{5}$ ”的（ ）

已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A$，$B$ 在椭圆 $x^{2} + 3y^{2} = 4$ 上，$C$ 在直线 $l: y = x + 2$ 上，且 $AB \parallel l$.

(1) 当 $AB$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $AB$ 的长及 $\triangle ABC$ 的面积； (2) 当 $\angle ABC = 90^{\circ}$，且斜边 $AC$ 的长最大时，求 $AB$ 所在直线的方程.