如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,4)$，$(2,0)$，$(6,4)$，则 $f(f(0)) =$______；函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的导数 $f'(1) =$______.

已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3bx + c$（$b \neq 0$），且 $g(x) = f(x) - 2$ 是奇函数.

(1) 求 $a$，$c$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间.