设计一条美丽的丝带, 其造型可以看作图中曲线 $C$ 的一部分. 已知 $C$ 过坐标原点 $O$, 且 $C$ 上的点满足: 横坐标大于 $-2$; 到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$ ($a < 0$) 的距离之积为 4. 则 ( )

设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点. 若 $|F_1A|=13$, $|AB|=10$, 则 $C$ 的离心率为 ______.

已知 $A(0,3)$ 和 $P(3, \frac{3}{2})$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 上两点. (1) 求 $C$ 的离心率; (2) 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$, 且 $\triangle ABP$ 的面积为 9, 求 $l$ 的方程.