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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，命题“若 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}，则 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|”的逆命题是（ ）
A.
若 a≠−b\boldsymbol{a} \neq -\boldsymbol{b}，则 ∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|
B.
若 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}，则 ∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|
C.
若 ∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|，则 a≠−b\boldsymbol{a} \neq -\boldsymbol{b}
D.
若 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|，则 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}

2011 · 陕西 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x=−2x = -2，则抛物线的方程是（ ）
A.
y2=−8xy^{2} = -8x
B.
y2=−4xy^{2} = -4x
C.
y2=8xy^{2} = 8x
D.
y2=4xy^{2} = 4x

2011 · 陕西 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
设 0<a<b0 < a < b，则下列不等式中正确的是（ ）
A.
a<b<ab<a+b2a < b < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}
B.
a<ab<a+b2<ba < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < b
C.
a<ab<b<a+b2a < \sqrt{ab} < b < \frac{a + b}{2}
D.
ab<a<a+b2<b\sqrt{ab} < a < \frac{a + b}{2} < b

2011 · 陕西 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x13y = x^{\frac{1}{3}} 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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05立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A.
8−2π38 - \frac{2\pi}{3}
B.
8−π38 - \frac{\pi}{3}
C.
8−2π8 - 2\pi
D.
2π3\frac{2\pi}{3}

2011 · 陕西 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
方程 ∣x∣=cos⁡x|x| = \cos x 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内（ ）
A.
没有根
B.
有且仅有一个根
C.
有且仅有两个根
D.
有无穷多个根

2011 · 陕西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
下面的框图中，当 x1=6x_{1} = 6，x2=9x_{2} = 9，p=8.5p = 8.5 时，x3x_{3} 等于（ ）
A.
77
B.
88
C.
1010
D.
1111

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08三角函数★★☆☆☆
设集合 M={y∣y=∣cos⁡2x−sin⁡2x∣,x∈R}M = \{y \mid y = |\cos^2 x - \sin^2 x|, x \in \mathbf{R}\}，N={x∣∣xi∣<1, i 为虚数单位, x∈R}N = \left\{x \mid \left|\frac{x}{\mathrm{i}}\right| < 1,\ \mathrm{i}\text{ 为虚数单位},\ x \in \mathbf{R}\right\}，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
[0,1][0,1]

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09概率与统计★★☆☆☆
设 (x1,y1)(x_{1}, y_{1})，(x2,y2)(x_{2}, y_{2})，⋯\cdots，(xn,yn)(x_{n}, y_{n}) 是变量 xx 和 yy 的 nn 个样本点，直线 ll 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）
A.
直线 ll 过点 (x‾,y‾)(\overline{x}, \overline{y})
B.
xx 和 yy 的相关系数为直线 ll 的斜率
C.
xx 和 yy 的相关系数在 00 到 11 之间
D.
当 nn 为偶数时，分布在 ll 两侧的样本点的个数一定相同

2011 · 陕西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
植树节某班 2020 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米10\text{ 米}，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 11 到 2020 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A.
11 和 2020
B.
99 和 1010
C.
99 和 1111
D.
1010 和 1111

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
设函数
f(x)={lg⁡x,x>0,10x,x⩽0.f(x) = \begin{cases} \lg x, & x > 0,\\ 10^x, & x \leqslant 0. \end{cases}
则 f(f(−2))=f(f(-2)) =______.

2011 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
如图，点 (x,y)(x, y) 在四边形 ABCDABCD 内部和边界上运动，那么 2x−y2x - y 的最小值为______.

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13数列★★☆☆☆
观察下列等式 1=11 = 1，2+3+4=92 + 3 + 4 = 9，3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25，4+5+6+7+8+9+10=494 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49，…\dots. 照此规律，第五个等式应为______.

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设 n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，一元二次方程 x2−4x+n=0x^{2} - 4x + n = 0 有整数根的充要条件是 n=n=______.

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15不等式★★☆☆☆
若不等式 ∣x+1∣+∣x−2∣⩾a|x+1|+|x-2|\geqslant a 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R} 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

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16三角函数★★☆☆☆
如图，∠B=∠D\angle B = \angle D，AE⊥BCAE \perp BC，∠ACD=90∘\angle ACD = 90^{\circ}，且 AB=6AB = 6，AC=4AC = 4，AD=12AD = 12，则 AE=AE =______.

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17解析几何★★☆☆☆
直角坐标系 xOyxOy 中，以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点 AA，BB 分别在曲线
C1:{x=3+cos⁡θ,y=sin⁡θ,C_1: \begin{cases} x = 3 + \cos \theta,\\ y = \sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）和曲线 C2:ρ=1C_2: \rho = 1 上，则 ∣AB∣|AB| 的最小值为______.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=45∘\angle ABC = 45^{\circ}，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，ADAD 是 BCBC 上的高，沿 ADAD 把 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}.
(1) 证明：平面 ADB⊥ADB \perp 平面 BDCBDC； (2) 若 BD=1BD = 1，求三棱锥 D−ABCD - ABC 的表面积.

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19解析几何★★★☆☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）过点 (0,4)(0,4)，离心率为 35\frac{3}{5}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 求过点 (3,0)(3,0) 且斜率为 45\frac{4}{5} 的直线被 CC 所截线段的中点坐标.

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20三角函数★★★☆☆
叙述并证明余弦定理.

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21导数及其应用★★★★☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

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22概率与统计★★★☆☆
如图，AA 地到火车站共有两条路径 L1L_{1} 和 L2L_{2}，现随机抽取 100100 位从 AA 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
选择 L2L_{2} 的人数00441616161644
(1) 试估计 40 分钟40\text{ 分钟} 内不能赶到火车站的概率； (2) 分别求通过路径 L1L_{1} 和 L2L_{2} 所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3) 现甲，乙两人分别有 40 分钟40\text{ 分钟} 和 50 分钟50\text{ 分钟} 时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

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23导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x).
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间和最小值； (2) 讨论 g(x)g(x) 与 g(1x)g\left(\frac{1}{x}\right) 的大小关系； (3) 求 aa 的取值范围，使得 g(a)−g(x)<1ag(a) - g(x) < \frac{1}{a} 对任意 x>0x > 0 成立.

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