设 $O$ 是坐标原点，$F$ 是抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$）的焦点，$A$ 是抛物线上的一点，$\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $60^{\circ}$，则 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$ 为______.

\begin{answer}$\frac{\sqrt{21}}{2}p$\end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$. 设 $A(x,y)$，因为向量 $\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $60^\circ$，所以 令 $t=x-\frac{p}{2}$，则 $y=\sqrt{3}t$. 代入抛物线方程得 $3t^2=2p\left(t+\frac{p}{2}\right)$，$3t^2-2pt-p^2=0$. 解得 $t=p$ 或 $t=-\frac{p}{3}$. 由于 $\overrightarrow{FA}$ 指向与正向夹角为 $60^\circ$ 的射线，须有 $t>0$，故 $t=p$. 于是 因此 \end{solution}

设 $D$ 是不等式组 表示的平面区域，则 $D$ 中的点 $P(x, y)$ 到直线 $x + y = 10$ 距离的最大值是______.

\begin{answer}$4\sqrt{2}$\end{answer}

\begin{solution} 由 $x\geqslant0$、$y\geqslant1$ 及 $2x+y\geqslant3$，分两段估计 $x+y$：当 $0\leqslant x\leqslant1$ 时，$y\geqslant3-2x$，故 $x+y\geqslant3-x\geqslant2$；当 $x\geqslant1$ 时，$x+y\geqslant x+1\geqslant2$. 点 $(1,1)$ 满足全部约束，所以 $x+y$ 的最小值为 $2$.

另一方面，由 $x+2y\leqslant10$ 和 $y\geqslant1$ 得 $x+y\leqslant10-y\leqslant9<10$. 因此区域内点到直线 $x+y=10$ 的距离为 其最大值在 $x+y=2$ 时取得，故 \end{solution}

与直线 $x + y - 2 = 0$ 和曲线 $x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0$ 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.

\begin{answer}$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 2$\end{answer}

\begin{solution} 已知曲线化为 所以其圆心为 $O_1(6,6)$，半径为 $R=3\sqrt{2}$. 圆心到直线 $x+y-2=0$ 的距离为

设所求圆圆心为 $P$，半径为 $r$. 它与直线相切，所以 $d(P,l)=r$. 先考虑两圆外切，此时 $PO_1=R+r$. 若 $P$ 与 $O_1$ 位于直线两侧，则 不可能外切；故二者在直线同侧，从而 于是 $R+r\geqslant5\sqrt{2}-r$，$r\geqslant\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. 若所求圆内切于已知圆，则它完全位于已知圆内，而已知圆到直线的最小距离为 $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0$，不可能又与该直线相切；若已知圆内切于所求圆，则 $r>R=3\sqrt{2}>\sqrt{2}$. 因此所有情形均有 $r\geqslant\sqrt{2}$.

取圆心 $P(2,2)$，则 $d(P,l)=\sqrt{2}$，且 故该圆同时与直线和已知圆相切，并达到下界. 所求圆为 \end{solution}

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 若直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.