设 $\alpha \in \left\{-1, 1, \frac{1}{2}, 3\right\}$，则使函数 $y = x^{\alpha}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ 且为奇函数的所有 $\alpha$ 值为（ ）

\begin{answer}A\end{answer}

\begin{solution} 逐一考察集合中的指数：当 $\alpha=-1$ 时，$y=x^{-1}$ 在 $x=0$ 处无定义；当 $\alpha=\frac{1}{2}$ 时，定义域为 $[0,+\infty)$，二者都不满足定义域为 $\mathbf{R}$. 当 $\alpha=1$ 或 $\alpha=3$ 时，定义域均为 $\mathbf{R}$，且 因此所求 $\alpha$ 为 $1,3$，故选 A. \end{solution}

给出下列三个等式：$f(xy) = f(x) + f(y)$，$f(x + y) = f(x)f(y)$，$f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}$. 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

\begin{answer}B\end{answer}

\begin{solution} 对 $f(x)=3^x$，有 $f(x+y)=3^{x+y}=3^x3^y=f(x)f(y)$，满足第二个等式. 对 $f(x)=\log_2x$，在 $x$，$y>0$ 时有 $f(xy)=\log_2(xy)=\log_2x+\log_2y$，满足第一个等式. 对 $f(x)=\tan x$，在两边有定义且分母不为零时，由正切的和角公式满足第三个等式.

而 $f(x)=\sin x$ 不满足第一个等式，例如取 $x=y=\frac{\pi}{2}$，有 $\sin(xy)=\sin\frac{\pi^2}{4}\neq2$；也不满足第二个等式，例如取 $x=y=\frac{\pi}{2}$，有 $\sin(x+y)=0\neq1$；第三个等式是正切的和角公式，正弦函数也不满足，例如取 $x=y=\frac{\pi}{6}$，左边为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，右边为 $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$. 因此选 B. \end{solution}

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 若直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.