设 $D$ 是不等式组 表示的平面区域，则 $D$ 中的点 $P(x, y)$ 到直线 $x + y = 10$ 距离的最大值是______.

\begin{answer}$4\sqrt{2}$\end{answer}

\begin{solution} 由 $x\geqslant0$、$y\geqslant1$ 及 $2x+y\geqslant3$，分两段估计 $x+y$：当 $0\leqslant x\leqslant1$ 时，$y\geqslant3-2x$，故 $x+y\geqslant3-x\geqslant2$；当 $x\geqslant1$ 时，$x+y\geqslant x+1\geqslant2$. 点 $(1,1)$ 满足全部约束，所以 $x+y$ 的最小值为 $2$.

另一方面，由 $x+2y\leqslant10$ 和 $y\geqslant1$ 得 $x+y\leqslant10-y\leqslant9<10$. 因此区域内点到直线 $x+y=10$ 的距离为 其最大值在 $x+y=2$ 时取得，故 \end{solution}

函数 $y = \log_a(x + 3) - 1$（$a > 0$，$a \neq 1$）的图象恒过定点 $A$，若点 $A$ 在直线 $mx + ny + 1 = 0$ 上，其中 $mn > 0$，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为______.

\begin{answer}$8$\end{answer}

\begin{solution} 令 $x+3=1$，则 $x=-2$，且对任意允许的底数 $a$，都有 $y=\log_a1-1=-1$. 所以定点为 $A(-2,-1)$. 代入直线方程得 $-2m-n+1=0$，$2m+n=1$. 由 $mn>0$ 及 $2m+n=1>0$，可知 $m>0$，$n>0$. 令 $u=2m$，则 $u>0$、$n>0$ 且 $u+n=1$. 因此 由 $u+n=1$ 得 $un\leqslant\frac{1}{4}$，所以 当 $u=n=\frac{1}{2}$，即 $m=\frac{1}{4}$，$n=\frac{1}{2}$ 时取等号，故最小值为 $8$. \end{solution}