某班 $50$ 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 $13\text{ 秒}$ 与 $19\text{ 秒}$ 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 $13\text{ 秒}$ 且小于 $14\text{ 秒}$；第二组，成绩大于等于 $14\text{ 秒}$ 且小于 $15\text{ 秒}$；…；第六组，成绩大于等于 $18\text{ 秒}$ 且小于 $19\text{ 秒}$. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

设成绩小于 $17\text{ 秒}$ 的学生人数占全班总人数的百分比为 $x$，成绩大于等于 $15\text{ 秒}$ 且小于 $17\text{ 秒}$ 的学生人数为 $y$，则从频率分布直方图中可分析出 $x$ 和 $y$ 分别为（ ）

\begin{answer}A\end{answer}

\begin{solution} 由频率分布直方图读得六组的频率依次为 $0.02$，$0.18$，$0.36$，$0.34$，$0.06$，$0.04$，它们的组距均为 $1\text{ 秒}$，故各柱高与对应频率相同. 成绩小于 $17\text{ 秒}$ 的频率为 成绩在 $[15,17)$ 秒内的频率为 $0.36+0.34=0.70$，所以人数为 故选 A. \end{solution}

位于坐标原点的一个质点 $P$ 按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上，向右移动的概率都是 $\frac{1}{2}$. 质点 $P$ 移动 $5$ 次后位于点 $(2,3)$ 的概率为（ ）

\begin{answer}B\end{answer}

\begin{solution} 每次移动只有“向上”和“向右”两种结果，且各次相互独立，单次概率均为 $\frac12$. 从 $(0,0)$ 到 $(2,3)$ 共需向右移动 $2$ 次、向上移动 $3$ 次，恰好 $5$ 次移动，因此只需在 $5$ 个位置中选出 $2$ 个位置向右. 有 $\mathrm C_5^2$ 条路径，每条路径的概率为 $\left(\frac12\right)^5$. 所求概率为 故选 B. \end{solution}

设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 用随机变量 $\xi$ 表示方程 $x^{2} + bx + c = 0$ 实根的个数（重根按一个计）.

(1) 求方程 $x^{2} + bx + c = 0$ 有实根的概率； (2) 求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (3) 求在先后两次出现的点数中有 $5$ 的条件下，方程 $x^{2} + bx + c = 0$ 有实根的概率.