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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡89log⁡23\frac{\log_8 9}{\log_2 3} 的值是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由换底公式，log⁡89=2log⁡33log⁡2\log_8 9=\frac{2\log 3}{3\log 2}，且log⁡23=log⁡3log⁡2\log_2 3=\frac{\log 3}{\log 2}，因此 log⁡89log⁡23=2log⁡33log⁡2⋅log⁡2log⁡3=23\frac{\log_8 9}{\log_2 3}=\frac{2\log 3}{3\log 2}\cdot\frac{\log 2}{\log 3}=\frac{2}{3}. 故选 A. \end{solution}
A.
23\frac{2}{3}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

1992 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
已知椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 上一点 PP 到椭圆一个焦点的距离为 33，则 PP 到另一焦点的距离为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的长半轴为 a=5a=5，所以椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 2a=102a=10. 已知其中一个距离为 33，故到另一个焦点的距离为 10−3=710-3=7. 故选 D. \end{solution}
A.
22
B.
33
C.
55
D.
77

1992 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
如果函数 y=sin⁡(ωx)cos⁡(ωx)y=\sin(\omega x)\cos(\omega x) 的最小正周期是 4π4\pi，那么常数 ω\omega 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 利用二倍角公式，y=12sin⁡(2ωx)y=\frac{1}{2}\sin(2\omega x). 因而其最小正周期为 2π2∣ω∣=π∣ω∣\frac{2\pi}{2|\omega|}=\frac{\pi}{|\omega|}. 由题设 π∣ω∣=4π\frac{\pi}{|\omega|}=4\pi，得 ∣ω∣=14|\omega|=\frac{1}{4}. 按三角函数中角频率取正值的约定，ω=14\omega=\frac{1}{4}，故选 D. \end{solution}
A.
44
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

1992 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x2−1x3)8\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^8 的展开式中常数项是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 取展开式中第二项因子的次数为 kk，其一般项为 C8k(x2)8−k(−x−13)k\mathrm C_8^k\left(\frac{x}{2}\right)^{8-k}\left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)^k，其中 xx 的指数为 8−k−k3=8−4k38-k-\frac{k}{3}=8-\frac{4k}{3}. 常数项要求 8−4k3=08-\frac{4k}{3}=0，所以 k=6k=6. 此时常数项为 C86(12)2(−1)6=28⋅14=7\mathrm C_8^6\left(\frac{1}{2}\right)^2(-1)^6=28\cdot\frac{1}{4}=7. 故选 C. \end{solution}
A.
−28-28
B.
−7-7
C.
77
D.
2828

1992 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设圆柱底面半径为 rr，高为 hh. 轴截面为正方形，所以 h=2rh=2r. 又圆柱高等于球的直径，故球半径也是 rr. 圆柱全面积为 2πr2+2πrh=2πr2+4πr2=6πr22\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2，球表面积为 4πr24\pi r^2，所以所求比为 6πr2:4πr2=3:26\pi r^2:4\pi r^2=3:2. 故选 D. \end{solution}
A.
6:56:5
B.
5:45:4
C.
4:34:3
D.
3:23:2

1992 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
如图，图中曲线是幂函数 y=xny=x^n 在第一象限的图象. 已知 nn 取 ±2\pm 2，±12\pm \frac{1}{2} 四个值，则相应于曲线 C1C_{1}，C2C_{2}，C3C_{3}，C4C_{4} 的 nn 依次为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 x>1x>1 时，正指数幂函数递增，且 x2>x12x^2>x^{\frac{1}{2}}，所以图中上面的递增曲线 C1C_1 对应 n=2n=2，下面的递增曲线 C2C_2 对应 n=12n=\frac{1}{2}. 负指数幂函数递减，且 x−12>x−2x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}，所以较上面的递减曲线 C3C_3 对应 n=−12n=-\frac{1}{2}，最下面的递减曲线 C4C_4 对应 n=−2n=-2. 故依次为 22，12\frac{1}{2}，−12-\frac{1}{2}，−2-2，选 B. \end{solution}
A.
−2,−12,12,2-2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2
B.
22，12\frac{1}{2}，−12-\frac{1}{2}，−2-2
C.
−12-\frac{1}{2}，−2-2，22，12\frac{1}{2}
D.
22，12\frac{1}{2}，−2-2，−12-\frac{1}{2}

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 log⁡a2<log⁡b2<0\log_a 2 < \log_b 2 < 0，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 log⁡a2<0\log_a2<0 且 log⁡b2<0\log_b2<0，而真数 2>12>1，所以 0<a<10<a<1，0<b<10<b<1. 在 0<t<10<t<1 上，g(t)=log⁡t2=ln⁡2ln⁡tg(t)=\log_t2=\frac{\ln2}{\ln t} 是减函数，因为 g′(t)=−ln⁡2t(ln⁡t)2<0g'(t)=-\frac{\ln2}{t(\ln t)^2}<0. 由 g(a)<g(b)g(a)<g(b) 得 a>ba>b，所以 0<b<a<10<b<a<1. 故选 B. \end{solution}
A.
0<a<b<10 < a < b < 1
B.
0<b<a<10 < b < a < 1
C.
a>b>1a > b > 1
D.
b>a>1b > a > 1

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08解析几何★★☆☆☆
原点关于直线 8x+6y=258x + 6y = 25 的对称点坐标为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 原点到直线的垂足在法向量 (8,6)(8,6) 方向上，设垂足为 (8t,6t)(8t,6t). 代入直线方程得 8⋅8t+6⋅6t=258\cdot8t+6\cdot6t=25，即 100t=25100t=25，所以垂足为 (2,32)\left(2,\frac{3}{2}\right). 对称点是原点关于垂足的中心对称点，故坐标为 (4,3)\left(4,3\right). 故选 D. \end{solution}
A.
(2,32)\left(2,\frac{3}{2}\right)
B.
(258,256)\left(\frac{25}{8}, \frac{25}{6}\right)
C.
(3,4)\left(3,4\right)
D.
(4,3)\left(4,3\right)

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09立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 四棱锥只有四个侧面，所以直角三角形的个数不超过 44. 下面说明四个可以同时成立：取正方形 ABCDABCD 为底面，取顶点 SS 在底面顶点 AA 的垂线上. 则在侧面 SABSAB、SADSAD 中，SA⊥ABSA\perp AB、SA⊥ADSA\perp AD，它们在 AA 处为直角；在侧面 SBCSBC 中，SBSB 的水平投影平行于 ABAB，而 BC⊥ABBC\perp AB，故 SB⊥BCSB\perp BC；同理在侧面 SCDSCD 中 SD⊥DCSD\perp DC. 因而四个侧面都可以是直角三角形，最大值为 44. 故选 D. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

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10解析几何★★★☆☆
圆心在抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 上，且与 xx 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将抛物线写成 y2=4pxy^2=4px，得 p=12p=\frac{1}{2}，所以准线为 x=−12x=-\frac{1}{2}. 设圆心为 (u,v)(u,v)，半径为 rr. 圆同时与 xx 轴和准线相切，因此 r=∣v∣=∣u+12∣r=|v|=\left|u+\frac{1}{2}\right|. 又圆心在抛物线上，所以 v2=2uv^2=2u. 消去半径得 2u=(u+12)22u=\left(u+\frac{1}{2}\right)^2，即 (u−12)2=0\left(u-\frac{1}{2}\right)^2=0，从而 u=12u=\frac{1}{2}，v=±1v=\pm1. 题目选项列出的是上半平面圆，取圆心 (12,1)\left(\frac{1}{2},1\right)，半径为 11，其方程为 (x−12)2+(y−1)2=1\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2=1，即 x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0. 故选 D. \end{solution}
A.
x2+y2−x−2y−14=0x^{2} + y^{2} - x - 2y - \frac{1}{4} = 0
B.
x2+y2+x−2y+1=0x^{2} + y^{2} + x - 2y + 1 = 0
C.
x2+y2−x−2y+1=0x^{2} + y^{2} - x - 2y + 1 = 0
D.
x2+y2−x−2y+14=0x^{2} + y^{2} - x - 2y + \frac{1}{4} = 0

1992 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
在 [0,2π][0,2\pi] 上满足 sin⁡x⩾12\sin x \geqslant \frac{1}{2} 的 xx 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 在一个周期内，sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} 的两个交点为 x=π6x=\frac{\pi}{6} 和 x=5π6x=\frac{5\pi}{6}. 正弦函数在这两个点之间不小于 12\frac{1}{2}，而在其余部分小于该值，所以在 [0,2π][0,2\pi] 上的解集为 [π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]. 故选 B. \end{solution}
A.
[0,π6]\left[0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]
C.
[π6,2π3]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]
D.
[5π6,π]\left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]

1992 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 夹角的平分线为 y=xy = x，如果 l1l_{1} 的方程是 ax+by+c=0ax + by + c = 0（ab>0ab > 0），那么 l2l_{2} 的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 对称时，点的坐标互换，因此直线 l1 ⁣:ax+by+c=0l_1\colon ax+by+c=0 的对称直线为 ay+bx+c=0ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0bx+ay+c=0. 这两条直线关于 y=xy=x 对称，故 y=xy=x 是它们的一个夹角平分线，选项 A 正确. \end{solution}
A.
bx+ay+c=0bx + ay + c = 0
B.
ax−by+c=0ax - by + c = 0
C.
bx+ay−c=0bx + ay - c = 0
D.
bx−ay+c=0bx - ay + c = 0

1992 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★★★☆☆
如果 α\alpha，β∈(π2,π)\beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) 且 tan⁡α<cot⁡β\tan \alpha < \cot \beta，那么必有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 令 u=α−πu=\alpha-\pi，v=π2−βv=\frac{\pi}{2}-\beta，则 uu，v∈(−π2,0)v\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)，并且 tan⁡u=tan⁡α\tan u=\tan\alpha，tan⁡v=cot⁡β\tan v=\cot\beta. 正切函数在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) 上递增，所以由 tan⁡u<tan⁡v\tan u<\tan v 得 u<vu<v. 因而 α−π<π2−β\alpha-\pi<\frac{\pi}{2}-\beta，即 α+β<3π2\alpha+\beta<\frac{3\pi}{2}. 故选 C. \end{solution}
A.
α<β\alpha < \beta
B.
β<α\beta < \alpha
C.
α+β<32π\alpha + \beta < \frac{3}{2}\pi
D.
α+β>32π\alpha + \beta > \frac{3}{2}\pi

1992 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，MM 和 NN 分别为 A1B1A_{1}B_{1} 和 BB1BB_{1} 的中点，那么直线 AMAM 与 CNCN 所成角的余弦值是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(1,0,0)B=(1,0,0)，C=(1,1,0)C=(1,1,0)，A1=(0,0,1)A_1=(0,0,1)，B1=(1,0,1)B_1=(1,0,1). 则 M=(12,0,1)M=\left(\frac{1}{2},0,1\right)，N=(1,0,12)N=\left(1,0,\frac{1}{2}\right). 取两直线方向向量 AM→=(12,0,1)\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,1\right) 和 CN→=(0,−1,12)\overrightarrow{CN}=\left(0,-1,\frac{1}{2}\right)，有 AM→⋅CN→=12\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}，∣AM→∣=52\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}，∣CN→∣=52\left|\overrightarrow{CN}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}. 所成角取锐角，故余弦值为 1252⋅52=25\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{5}. 故选 D. \end{solution}
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
1010\frac{\sqrt{10}}{10}
C.
35\frac{3}{5}
D.
25\frac{2}{5}

1992 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15复数★★☆☆☆
已知复数 zz 的模为 22，则 ∣z−i∣|z - \mathrm{i}| 的最大值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 把复数看作复平面上的点，∣z∣=2|z|=2，而 ∣i∣=1|\mathrm{i}|=1. 由三角不等式，∣z−i∣⩽∣z∣+∣i∣=3|z-\mathrm{i}|\leqslant |z|+|\mathrm{i}|=3. 当 z=−2iz=-2\mathrm{i} 时，∣z∣=2|z|=2，且 ∣z−i∣=∣−3i∣=3|z-\mathrm{i}|=|-3\mathrm{i}|=3，等号可以取得. 因此最大值为 33，故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
5\sqrt{5}
D.
33

1992 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=ex−e−x2y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} 的反函数（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 原函数为 f(x)=ex−e−x2f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}，其定义域为 R\mathbf{R}. 有 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，所以它是奇函数；又 f′(x)=ex+e−x2>0f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}>0，所以它在 R\mathbf{R} 上严格递增. 此外，lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty，lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty，故 ff 的值域为 R\mathbf{R}，反函数 g=f−1g=f^{-1} 存在且定义域为 R\mathbf{R}. 若 y=f(x)y=f(x)，则 −y=f(−x)-y=f(-x)，从而 g(−y)=−x=−g(y)g(-y)=-x=-g(y)，所以 gg 是奇函数. 由于 ff 严格递增，gg 也严格递增，因而 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，故选 C. \end{solution}
A.
是奇函数，它在 (0,+∞)(0, +\infty) 上是减函数
B.
是偶函数，它在 (0,+∞)(0, +\infty) 上是减函数
C.
是奇函数，它在 (0,+∞)(0, +\infty) 上是增函数
D.
是偶函数，它在 (0,+∞)(0, +\infty) 上是增函数

1992 · 全国 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★☆☆☆
如果函数 f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c 对任意实数 tt 都有 f(2+t)=f(2−t)f(2+t)=f(2-t)，那么（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 条件说明二次函数的图象关于直线 x=2x=2 对称，所以其对称轴为 x=−b2=2x=-\frac{b}{2}=2，从而 b=−4b=-4. 因此 f(x)=x2−4x+c=(x−2)2+c−4f(x)=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4. 于是 f(2)=c−4f(2)=c-4，f(1)=c−3f(1)=c-3，f(4)=cf(4)=c，故 f(2)<f(1)<f(4)f(2)<f(1)<f(4). 故选 A. \end{solution}
A.
f(2)<f(1)<f(4)f(2) < f(1) < f(4)
B.
f(1)<f(2)<f(4)f(1) < f(2) < f(4)
C.
f(2)<f(4)<f(1)f(2) < f(4) < f(1)
D.
f(4)<f(2)<f(1)f(4) < f(2) < f(1)

1992 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18立体几何初步★★☆☆☆
已知长方体的全面积为 1111，1212 条棱长度之和为 2424，则这个长方体的一条对角线长为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设长方体的三条棱长为 aa，bb，c>0c>0. 由全面积和棱长总和分别得 2(ab+bc+ca)=112(ab+bc+ca)=11，4(a+b+c)=244(a+b+c)=24，即 ab+bc+ca=112ab+bc+ca=\frac{11}{2}，a+b+c=6a+b+c=6. 对角线长 dd 满足 d2=a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=36−11=25d^2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=36-11=25. 因为 d>0d>0，所以 d=5d=5. 故选 C. \end{solution}
A.
232\sqrt{3}
B.
14\sqrt{14}
C.
55
D.
66

1992 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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19数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞[13−19+127+⋯+(−1)n−113n]\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{3^n}\right] 的值为______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}
\begin{solution} 括号内是首项为 13\frac{1}{3}、公比为 −13-\frac{1}{3} 的等比数列前 nn 项和，因此 Sn=13(1−(−13)n)1−(−13)=14(1−(−13)n)S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{4}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right). 因为 (−13)n→0\left(-\frac{1}{3}\right)^n\to0，所以原极限为 14\frac{1}{4}. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 填空题

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20三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 在第三象限且 tan⁡α=2\tan \alpha = 2，则 cos⁡α\cos \alpha 的值是______.
\begin{answer} −55-\frac{\sqrt{5}}{5} \end{answer}
\begin{solution} 由恒等式 1+tan⁡2α=sec⁡2α1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha，得 sec⁡2α=1+22=5\sec^2\alpha=1+2^2=5，所以 ∣cos⁡α∣=15|\cos\alpha|=\frac{1}{\sqrt{5}}. 因为 α\alpha 在第三象限，cos⁡α<0\cos\alpha<0，故 cos⁡α=−15=−55\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 填空题

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21指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 1+3−x1+3x=3\frac{1 + 3^{-x}}{1 + 3^x} = 3 的解是______.
\begin{answer} x=−1x=-1 \end{answer}
\begin{solution} 令 t=3x>0t=3^x>0，则 3−x=1t3^{-x}=\frac{1}{t}. 原方程化为 1+1t1+t=3\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3. 由于 t>0t>0，分母不为零，整理得 1+1t=3+3t1+\frac{1}{t}=3+3t，即 3t2+2t−1=03t^2+2t-1=0. 因式分解得 (3t−1)(t+1)=0(3t-1)(t+1)=0. 结合 t>0t>0，得 t=13t=\frac{1}{3}，所以 3x=3−13^x=3^{-1}，解得 x=−1x=-1. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 填空题

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22计数原理与组合数学★★☆☆☆
设含有 1010 个元素的集合的全部子集数为 SS，其中由 33 个元素组成的子集数为 TT，则 TS\frac{T}{S} 的值为______.
\begin{answer} 15128\frac{15}{128} \end{answer}
\begin{solution} 含有 1010 个元素的集合的每个元素都有“取入子集”或“不取入子集”两种选择，所以 S=210=1024S=2^{10}=1024. 从其中选出 33 个元素组成子集的方法数为 T=C103=10⋅9⋅83⋅2⋅1=120T=\mathrm C_{10}^{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120. 因而 TS=1201024=15128\frac{T}{S}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 填空题

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23解析几何★★☆☆☆
焦点为 F1(−2,0)F_{1}(-2,0) 和 F2(6,0)F_{2}(6,0)，离心率为 22 的双曲线的方程是______.
\begin{answer} (x−2)24−y212=1\frac{\left(x-2\right)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1 \end{answer}
\begin{solution} 两焦点中点为 (2,0)(2,0)，焦半距为 c=4c=4. 由离心率 e=ca=2e=\frac{c}{a}=2，得半实轴 a=2a=2. 双曲线满足 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 b2=42−22=12b^2=4^2-2^2=12. 因焦点在水平轴上，方程为 (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 填空题

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24三角函数★★★☆☆
求 sin⁡220∘+cos⁡280∘+3sin⁡20∘cos⁡80∘\sin^2 20^\circ + \cos^2 80^\circ + \sqrt{3} \sin 20^\circ \cos 80^\circ 的值.
\begin{solution} 利用降幂公式和积化和差公式，原式为 1−cos⁡40∘2+1+cos⁡160∘2+32(sin⁡100∘+sin⁡(−60∘))\frac{1-\cos40^\circ}{2}+\frac{1+\cos160^\circ}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(\sin100^\circ+\sin(-60^\circ)\right). 由于 cos⁡160∘=−cos⁡20∘\cos160^\circ=-\cos20^\circ，sin⁡100∘=sin⁡80∘\sin100^\circ=\sin80^\circ，sin⁡(−60∘)=−32\sin(-60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}，所以原式 为 14−cos⁡20∘+cos⁡40∘2+32sin⁡80∘\frac{1}{4}-\frac{\cos20^\circ+\cos40^\circ}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\sin80^\circ. 又 cos⁡20∘+cos⁡40∘=2cos⁡30∘cos⁡10∘=3cos⁡10∘=3sin⁡80∘\cos20^\circ+\cos40^\circ=2\cos30^\circ\cos10^\circ=\sqrt3\cos10^\circ=\sqrt3\sin80^\circ，故原式为 14\frac{1}{4}. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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25复数★★★☆☆
已知 z∈Cz \in \mathbf{C}，解方程：z−2∣z∣=−7+4iz - 2|z| = -7 + 4\mathrm{i}.
\begin{solution} 设 z=x+yiz=x+y\mathrm{i}，并令 r=∣z∣=x2+y2⩾0r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0. 比较实部和虚部得 x−2r=−7x-2r=-7，y=4y=4，即 x=2r−7x=2r-7. 代入模的关系式，得 r2=(2r−7)2+42=4r2−28r+65r^2=(2r-7)^2+4^2=4r^2-28r+65，即 3r2−28r+65=03r^2-28r+65=0. 其判别式为 Δ=(−28)2−4⋅3⋅65=4\Delta=(-28)^2-4\cdot3\cdot65=4，所以 r=28±42⋅3=5r=\frac{28\pm\sqrt{4}}{2\cdot3}=5 或 r=133r=\frac{13}{3}. 两个根都满足 r⩾0r\geqslant0. 当 r=5r=5 时，x=2⋅5−7=3x=2\cdot5-7=3，且 x2+42=5=r\sqrt{x^2+4^2}=5=r，得 z=3+4iz=3+4\mathrm{i}；当 r=133r=\frac{13}{3} 时，x=2⋅133−7=53x=2\cdot\frac{13}{3}-7=\frac{5}{3}，且 (53)2+42=133=r\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+4^2}=\frac{13}{3}=r，得 z=53+4iz=\frac{5}{3}+4\mathrm{i}. 两个值均满足 r=∣z∣r=|z| 及实、虚部方程，因而均为原方程的解，故 z=3+4iz=3+4\mathrm{i} 或 z=53+4iz=\frac{5}{3}+4\mathrm{i}. \end{solution}

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