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02解析几何★☆☆☆☆
已知椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 上一点 PP 到椭圆一个焦点的距离为 33，则 PP 到另一焦点的距离为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的长半轴为 a=5a=5，所以椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 2a=102a=10. 已知其中一个距离为 33，故到另一个焦点的距离为 10−3=710-3=7. 故选 D. \end{solution}
A.
22
B.
33
C.
55
D.
77

1992 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
原点关于直线 8x+6y=258x + 6y = 25 的对称点坐标为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 原点到直线的垂足在法向量 (8,6)(8,6) 方向上，设垂足为 (8t,6t)(8t,6t). 代入直线方程得 8⋅8t+6⋅6t=258\cdot8t+6\cdot6t=25，即 100t=25100t=25，所以垂足为 (2,32)\left(2,\frac{3}{2}\right). 对称点是原点关于垂足的中心对称点，故坐标为 (4,3)\left(4,3\right). 故选 D. \end{solution}
A.
(2,32)\left(2,\frac{3}{2}\right)
B.
(258,256)\left(\frac{25}{8}, \frac{25}{6}\right)
C.
(3,4)\left(3,4\right)
D.
(4,3)\left(4,3\right)

1992 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
圆心在抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 上，且与 xx 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将抛物线写成 y2=4pxy^2=4px，得 p=12p=\frac{1}{2}，所以准线为 x=−12x=-\frac{1}{2}. 设圆心为 (u,v)(u,v)，半径为 rr. 圆同时与 xx 轴和准线相切，因此 r=∣v∣=∣u+12∣r=|v|=\left|u+\frac{1}{2}\right|. 又圆心在抛物线上，所以 v2=2uv^2=2u. 消去半径得 2u=(u+12)22u=\left(u+\frac{1}{2}\right)^2，即 (u−12)2=0\left(u-\frac{1}{2}\right)^2=0，从而 u=12u=\frac{1}{2}，v=±1v=\pm1. 题目选项列出的是上半平面圆，取圆心 (12,1)\left(\frac{1}{2},1\right)，半径为 11，其方程为 (x−12)2+(y−1)2=1\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2=1，即 x2+y2−x−2y+14=0x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0. 故选 D. \end{solution}
A.
x2+y2−x−2y−14=0x^{2} + y^{2} - x - 2y - \frac{1}{4} = 0
B.
x2+y2+x−2y+1=0x^{2} + y^{2} + x - 2y + 1 = 0
C.
x2+y2−x−2y+1=0x^{2} + y^{2} - x - 2y + 1 = 0
D.
x2+y2−x−2y+14=0x^{2} + y^{2} - x - 2y + \frac{1}{4} = 0

1992 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 夹角的平分线为 y=xy = x，如果 l1l_{1} 的方程是 ax+by+c=0ax + by + c = 0（ab>0ab > 0），那么 l2l_{2} 的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 对称时，点的坐标互换，因此直线 l1 ⁣:ax+by+c=0l_1\colon ax+by+c=0 的对称直线为 ay+bx+c=0ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0bx+ay+c=0. 这两条直线关于 y=xy=x 对称，故 y=xy=x 是它们的一个夹角平分线，选项 A 正确. \end{solution}
A.
bx+ay+c=0bx + ay + c = 0
B.
ax−by+c=0ax - by + c = 0
C.
bx+ay−c=0bx + ay - c = 0
D.
bx−ay+c=0bx - ay + c = 0

1992 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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23解析几何★★☆☆☆
焦点为 F1(−2,0)F_{1}(-2,0) 和 F2(6,0)F_{2}(6,0)，离心率为 22 的双曲线的方程是______.
\begin{answer} (x−2)24−y212=1\frac{\left(x-2\right)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1 \end{answer}
\begin{solution} 两焦点中点为 (2,0)(2,0)，焦半距为 c=4c=4. 由离心率 e=ca=2e=\frac{c}{a}=2，得半实轴 a=2a=2. 双曲线满足 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 b2=42−22=12b^2=4^2-2^2=12. 因焦点在水平轴上，方程为 (x−2)24−y212=1\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1. \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 填空题

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27解析几何★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BCBC 边上的高所在直线的方程为 x−2y+1=0x-2y+1=0，∠A\angle A 的平分线所在直线的方程为 y=0y=0，若点 BB 的坐标为 (1,2)\left(1,2\right)，求点 AA 和点 CC 的坐标.
\begin{solution} 点 AA 在 ∠A\angle A 的平分线 y=0y=0 上，也在从 AA 向 BCBC 作出的高所在直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 上. 联立得 y=0y=0，x+1=0x+1=0，所以 A=(−1,0)A=(-1,0).
直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 的斜率为 12\frac{1}{2}，因此 BCBC 的斜率为 −2-2. 由于 B=(1,2)B=(1,2)，得 BCBC 的方程为 y−2=−2(x−1)y-2=-2(x-1)，即 y=−2x+4y=-2x+4. 直线 y=0y=0 是 ∠A\angle A 的平分线，所以射线 ACAC 是射线 ABAB 关于 xx 轴的对称射线. 直线 ABAB 的方程为 y=x+1y=x+1，关于 xx 轴对称后，直线 ACAC 的方程为 y=−x−1y=-x-1. 联立 y=−2x+4y=-2x+4 与 y=−x−1y=-x-1，得 x=5x=5，y=−6y=-6. 因而 C=(5,−6)C=(5,-6)，所求为 A=(−1,0)A=(-1,0)，C=(5,−6)C=(5,-6). \end{solution}

1992 · 全国 · 文 · 第 27 题 · 解答题

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