已知复数 $z$ 的模为 $2$，则 $|z - \mathrm{i}|$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 把复数看作复平面上的点，$|z|=2$，而 $|\mathrm{i}|=1$. 由三角不等式，$|z-\mathrm{i}|\leqslant |z|+|\mathrm{i}|=3$. 当 $z=-2\mathrm{i}$ 时，$|z|=2$，且 $|z-\mathrm{i}|=|-3\mathrm{i}|=3$，等号可以取得. 因此最大值为 $3$，故选 D. \end{solution}

已知 $z \in \mathbf{C}$，解方程：$z - 2|z| = -7 + 4\mathrm{i}$.

\begin{solution} 设 $z=x+y\mathrm{i}$，并令 $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0$. 比较实部和虚部得 $x-2r=-7$，$y=4$，即 $x=2r-7$. 代入模的关系式，得 $r^2=(2r-7)^2+4^2=4r^2-28r+65$，即 $3r^2-28r+65=0$. 其判别式为 $\Delta=(-28)^2-4\cdot3\cdot65=4$，所以 $r=\frac{28\pm\sqrt{4}}{2\cdot3}=5$ 或 $r=\frac{13}{3}$. 两个根都满足 $r\geqslant0$. 当 $r=5$ 时，$x=2\cdot5-7=3$，且 $\sqrt{x^2+4^2}=5=r$，得 $z=3+4\mathrm{i}$；当 $r=\frac{13}{3}$ 时，$x=2\cdot\frac{13}{3}-7=\frac{5}{3}$，且 $\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+4^2}=\frac{13}{3}=r$，得 $z=\frac{5}{3}+4\mathrm{i}$. 两个值均满足 $r=|z|$ 及实、虚部方程，因而均为原方程的解，故 $z=3+4\mathrm{i}$ 或 $z=\frac{5}{3}+4\mathrm{i}$. \end{solution}