$\frac{\log_8 9}{\log_2 3}$ 的值是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由换底公式，$\log_8 9=\frac{2\log 3}{3\log 2}$，且$\log_2 3=\frac{\log 3}{\log 2}$，因此 $\frac{\log_8 9}{\log_2 3}=\frac{2\log 3}{3\log 2}\cdot\frac{\log 2}{\log 3}=\frac{2}{3}$. 故选 A. \end{solution}

若 $\log_a 2 < \log_b 2 < 0$，则（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\log_a2<0$ 且 $\log_b2<0$，而真数 $2>1$，所以 $0<a<1$，$0<b<1$. 在 $0<t<1$ 上，$g(t)=\log_t2=\frac{\ln2}{\ln t}$ 是减函数，因为 $g'(t)=-\frac{\ln2}{t(\ln t)^2}<0$. 由 $g(a)<g(b)$ 得 $a>b$，所以 $0<b<a<1$. 故选 B. \end{solution}

函数 $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的反函数（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 原函数为 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$，其定义域为 $\mathbf{R}$. 有 $f(-x)=-f(x)$，所以它是奇函数；又 $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}>0$，所以它在 $\mathbf{R}$ 上严格递增. 此外，$\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，$\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，故 $f$ 的值域为 $\mathbf{R}$，反函数 $g=f^{-1}$ 存在且定义域为 $\mathbf{R}$. 若 $y=f(x)$，则 $-y=f(-x)$，从而 $g(-y)=-x=-g(y)$，所以 $g$ 是奇函数. 由于 $f$ 严格递增，$g$ 也严格递增，因而 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，故选 C. \end{solution}

方程 $\frac{1 + 3^{-x}}{1 + 3^x} = 3$ 的解是______.

\begin{answer} $x=-1$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $t=3^x>0$，则 $3^{-x}=\frac{1}{t}$. 原方程化为 $\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3$. 由于 $t>0$，分母不为零，整理得 $1+\frac{1}{t}=3+3t$，即 $3t^2+2t-1=0$. 因式分解得 $(3t-1)(t+1)=0$. 结合 $t>0$，得 $t=\frac{1}{3}$，所以 $3^x=3^{-1}$，解得 $x=-1$. \end{solution}