如图，图中曲线是幂函数 $y=x^n$ 在第一象限的图象. 已知 $n$ 取 $\pm 2$，$\pm \frac{1}{2}$ 四个值，则相应于曲线 $C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$，$C_{4}$ 的 $n$ 依次为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 当 $x>1$ 时，正指数幂函数递增，且 $x^2>x^{\frac{1}{2}}$，所以图中上面的递增曲线 $C_1$ 对应 $n=2$，下面的递增曲线 $C_2$ 对应 $n=\frac{1}{2}$. 负指数幂函数递减，且 $x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}$，所以较上面的递减曲线 $C_3$ 对应 $n=-\frac{1}{2}$，最下面的递减曲线 $C_4$ 对应 $n=-2$. 故依次为 $2$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$-2$，选 B. \end{solution}

函数 $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的反函数（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 原函数为 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$，其定义域为 $\mathbf{R}$. 有 $f(-x)=-f(x)$，所以它是奇函数；又 $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}>0$，所以它在 $\mathbf{R}$ 上严格递增. 此外，$\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，$\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，故 $f$ 的值域为 $\mathbf{R}$，反函数 $g=f^{-1}$ 存在且定义域为 $\mathbf{R}$. 若 $y=f(x)$，则 $-y=f(-x)$，从而 $g(-y)=-x=-g(y)$，所以 $g$ 是奇函数. 由于 $f$ 严格递增，$g$ 也严格递增，因而 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，故选 C. \end{solution}

如果函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t)=f(2-t)$，那么（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 条件说明二次函数的图象关于直线 $x=2$ 对称，所以其对称轴为 $x=-\frac{b}{2}=2$，从而 $b=-4$. 因此 $f(x)=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$. 于是 $f(2)=c-4$，$f(1)=c-3$，$f(4)=c$，故 $f(2)<f(1)<f(4)$. 故选 A. \end{solution}