$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{3^n}\right]$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{1}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 括号内是首项为 $\frac{1}{3}$、公比为 $-\frac{1}{3}$ 的等比数列前 $n$ 项和，因此 $S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{4}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$. 因为 $\left(-\frac{1}{3}\right)^n\to0$，所以原极限为 $\frac{1}{4}$. \end{solution}

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知 $a_{3}=12$，$S_{12}>0$，$S_{13}<0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围； (2) 指出 $S_{1}$，$S_{2}$，$\cdots$，$S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $a_3=a_1+2d=12$，得 $a_1=12-2d$. 因而 $S_{12}=\frac{12}{2}(a_1+a_{12})=6\left(24+7d\right)>0$，得 $d>-\frac{24}{7}$；又 $S_{13}=\frac{13}{2}(a_1+a_{13})=\frac{13}{2}\left(24+8d\right)<0$，得 $d<-3$. 所以 $-\frac{24}{7}<d<-3$. \item 等差数列的项为 $a_n=a_3+(n-3)d=12+(n-3)d$. 由 $d>-\frac{24}{7}>-4$，得 $a_6=12+3d>12-12=0$；由 $d<-3$，得 $a_7=12+4d<12-12=0$. 又因 $d<0$，数列各项递减，所以 $a_1$，$\ldots$，$a_6>0$，而 $a_7$，$\ldots$，$a_{12}<0$. 因为 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，故 $S_1<S_2<\cdots<S_6$，且 $S_6>S_7>\cdots>S_{12}$. 因此 $S_6$ 最大. \end{enumerate} \end{solution}