椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的右焦点为 $F$，其右准线与 $x$ 轴的交点为 $A$，在椭圆上存在点 $P$ 满足线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

直线 $x - 2y + 5 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 相交于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB| =\underline{\hspace{2em}}$.

已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$，定直线 $l: x = \frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 $2$ 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，直线 $AB$，$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$，$N$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.