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08
数列
★★☆☆☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的首项
a
1
≠
0
a_{1} \neq 0
a
1
=
0
，其前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
，且
S
n
+
1
=
2
S
n
+
a
1
S_{n+1} = 2S_{n} + a_{1}
S
n
+
1
=
2
S
n
+
a
1
，则
lim
n
→
∞
a
n
S
n
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}} =
n
→
∞
lim
S
n
a
n
=
（ ）
A.
0
0
0
B.
1
2
\frac{1}{2}
2
1
C.
1
1
1
D.
2
2
2
2010 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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21
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
0
a_1 = 0
a
1
=
0
，
a
2
=
2
a_2 = 2
a
2
=
2
，且对任意
m
m
m
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
都有
a
2
m
−
1
+
a
2
n
−
1
=
2
a
m
+
n
−
1
+
2
(
m
−
n
)
2
a_{2m-1} + a_{2n-1} = 2a_{m+n-1} + 2(m - n)^2
a
2
m
−
1
+
a
2
n
−
1
=
2
a
m
+
n
−
1
+
2
(
m
−
n
)
2
.
(1) 求
a
3
a_{3}
a
3
，
a
5
a_{5}
a
5
； (2) 设
b
n
=
a
2
n
+
1
−
a
2
n
−
1
b_{n} = a_{2n + 1} - a_{2n - 1}
b
n
=
a
2
n
+
1
−
a
2
n
−
1
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
），证明：数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
是等差数列； (3) 设
c
n
=
(
a
n
+
1
−
a
n
)
q
n
−
1
c_{n} = (a_{n + 1} - a_{n})q^{n - 1}
c
n
=
(
a
n
+
1
−
a
n
)
q
n
−
1
（
q
≠
0
q\ne 0
q
=
0
，
n
∈
N
∗
\ n\in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
），求数列
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_{n}
S
n
.
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