将函数 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向右平行移动 $\frac{\pi}{10}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）

(1) (i) 证明两角和的余弦公式 $C_{\alpha+\beta}$：$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$； (ii) 由 $C_{\alpha+\beta}$ 推导两角和的正弦公式 $S_{\alpha+\beta}$：$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. (2) 已知 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$，且 $\cos B = \frac{3}{5}$，求 $\cos C$.