设点 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，点 $A$ 在直线 $BC$ 外，$\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2} = 16$，$\left|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right|$，则 $AM =$（ ）

(1) (i) 证明两角和的余弦公式 $C_{\alpha+\beta}$：$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$； (ii) 由 $C_{\alpha+\beta}$ 推导两角和的正弦公式 $S_{\alpha+\beta}$：$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. (2) 已知 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$，且 $\cos B = \frac{3}{5}$，求 $\cos C$.