当 $p$ 是什么实数时，方程 $x^2+px-3=0$ 与方程 $x^2-4x-(p-1)=0$ 有一个公共根？并求出这个公共根.

(1) 已知 $a$，$b$，$c$ 为实数，证明 $a$，$b$，$c$ 都为正数的充要条件是：$a+b+c>0$，$ab+bc+ca>0$，$abc>0$. (2) 已知方程 $x^3+px^2+qx+r=0$ 的三个根 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ 都是实数，证明 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ 是一个三角形的三个边长的充要条件是：$p<0$，$q>0$，$r<0$，$p^3>4pq-8r$.