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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 I={0,1,2,3,4}I = \{0, 1, 2, 3, 4\}，集合 A={0,1,2,3}A = \{0, 1, 2, 3\}，集合 B={2,3,4}B = \{2, 3, 4\}，则 A‾∪B‾=\overline{A} \cup \overline{B} =（ ）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{0,1,4}\{0,1,4\}
D.
{0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\}

1994 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
如果方程 x2+ky2=2x^{2} + ky^{2} = 2 表示焦点在 yy 轴上的椭圆，那么实数 kk 的取值范围是（ ）
A.
(0,+∞)(0, +\infty)
B.
(0,2)(0, 2)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
(0,1)(0, 1)

1994 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ=cos⁡(π4−θ)\rho = \cos \left(\frac{\pi}{4} -\theta\right) 所表示的曲线是（ ）
A.
双曲线
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
圆

1994 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★★☆☆
设 θ\theta 是第二象限的角，则必有（ ）
A.
tan⁡θ2>cot⁡θ2\tan \frac{\theta}{2} > \cot \frac{\theta}{2}
B.
tan⁡θ2<cot⁡θ2\tan \frac{\theta}{2} < \cot \frac{\theta}{2}
C.
sin⁡θ2>cos⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} > \cos \frac{\theta}{2}
D.
sin⁡θ2<cos⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} < \cos \frac{\theta}{2}

1994 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
某种细菌在培养过程中，每 2020 分钟分裂一次（一个分裂为两个）. 经过 33 小时，这种细菌由 11 个可繁殖成（ ）
A.
511511 个
B.
512512 个
C.
10231023 个
D.
10241024 个

1994 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
在下列函数中，以 π2\frac{\pi}{2} 为周期的函数是（ ）
A.
y=sin⁡2x+cos⁡4xy = \sin 2x + \cos 4x
B.
y=sin⁡2xcos⁡4xy = \sin 2x\cos 4x
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡2xcos⁡2xy = \sin 2x\cos 2x

1994 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知正六棱台的上、下底面边长分别为 22 和 44，高为 22，则其体积为（ ）
A.
32332\sqrt{3}
B.
28328\sqrt{3}
C.
24324\sqrt{3}
D.
20320\sqrt{3}

1994 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1} 和 F2F_{2} 为双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1 的两个焦点，点 PP 在双曲线上且满足 ∠F1PF2=90∘\angle F_1PF_2 = 90^\circ，则 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积是（ ）
A.
11
B.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
C.
22
D.
5\sqrt{5}

1994 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
如果复数 zz 满足 ∣z+i∣+∣z−i∣=2|z + \mathrm{i}| + |z - \mathrm{i}| = 2，那么 ∣z+i+1∣|z + \mathrm{i} + 1| 的最小值是（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
22
D.
5\sqrt{5}

1994 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
有甲、乙、丙三项任务，甲需 22 人承担，乙、丙各需 11 人承担. 从 1010 人中选派 44 人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）
A.
12601260 种
B.
20252025 种
C.
25202520 种
D.
50405040 种

1994 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★☆☆☆
对于直线 mm，nn 和平面 α\alpha，β\beta，α⊥β\alpha \perp \beta 的一个充分条件是（ ）
A.
m⊥nm \perp n，m∥αm \parallel \alpha，n∥βn \parallel \beta
B.
m⊥nm \perp n，α∩β=m\alpha \cap \beta = m，n⊂αn \subset \alpha
C.
m∥nm \parallel n，n⊥βn \perp \beta，m⊂αm \subset \alpha
D.
m∥nm \parallel n，m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta

1994 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=1−1−x2f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^2}（−1⩽x⩽0-1 \leqslant x \leqslant 0），则函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

1994 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知过球面上 AA，BB，CC 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2AB = BC = CA = 2，则球面面积是（ ）
A.
169π\frac{16}{9}\pi
B.
83π\frac{8}{3}\pi
C.
4π4\pi
D.
649π\frac{64}{9}\pi

1994 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=arccos⁡(sin⁡x)y = \arccos (\sin x)（−π3<x<2π3-\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}）的值域是（ ）
A.
(π6,5π6)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)
B.
[0,5π6)\left[0, \frac{5\pi}{6}\right)
C.
(π3,2π3)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)
D.
[π6,2π3)\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right)

1994 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
定义在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上的任意函数 f(x)f(x) 都可以表示成一个奇函数 g(x)g(x) 和一个偶函数 h(x)h(x) 之和，如果 f(x)=lg⁡(10x+1)f(x) = \lg \left(10^x + 1\right)，x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)，那么（ ）
A.
g(x)=xg(x) = x，h(x)=lg⁡(10x+10−x+2)h(x) = \lg \left(10^x + 10^{-x} + 2\right)
B.
g(x)=12[lg⁡(10x+1)+x]g(x) = \frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x + 1\right) + x\right]，h(x)=12[lg⁡(10x+1)−x]h(x) = \frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x + 1\right) - x\right]
C.
g(x)=x2g(x) = \frac{x}{2}，h(x)=lg⁡(10x+1)−x2h(x) = \lg \left(10^x + 1\right) - \frac{x}{2}
D.
g(x)=−x2g(x) = -\frac{x}{2}，h(x)=lg⁡(10x+1)+x2h(x) = \lg \left(10^x + 1\right) + \frac{x}{2}

1994 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (3−x)7(3 - x)^7 的展开式中，x5x^5 的系数是______.

1994 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★☆☆☆
抛物线 y2=8−4xy^{2} = 8 - 4x 的准线方程是______，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是______.

1994 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}，θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi)，则 cot⁡θ\cot \theta 的值是______.

1994 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
设圆锥底面圆周上两点 AA，BB 间的距离为 22，圆锥顶点到直线 ABAB 的距离为 3\sqrt{3}，ABAB 和圆锥的轴的距离为 11，则该圆锥的体积为______.

1994 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 nn 次测量分别得到 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n}，共 nn 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”aa 是这样一个量：与其他近似值比较，aa 与各数据的差的平方和最小. 依此规定，从 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n} 推出的 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.

1994 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21复数★★☆☆☆
已知 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}.
(1) 设 ω=z2+3z‾−4\omega = z^2 + 3\overline{z} - 4，求 ω\omega 的三角形式； (2) 如果 z2+az+bz2−z+1=1−i\frac{z^{2}+az+b}{z^{2}-z+1}=1-\mathrm{i}，求实数 aa，bb 的值.

1994 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). 若 x1x_1，x2∈(0,π2)x_2 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，且 x1≠x2x_1 \neq x_2，证明：12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)\frac{1}{2}\left[f(x_1) + f(x_2)\right] > f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right).

1994 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，已知 A1B1C1−ABCA_{1}B_{1}C_{1} - ABC 是正三棱柱，DD 是 ACAC 中点.
(1) 证明：AB1∥平面 DBC1AB_{1} \parallel \text{平面 } DBC_{1}； (2) 假设 AB1⊥BC1AB_{1} \perp BC_{1}，求以 BC1BC_{1} 为棱，DBC1DBC_{1} 与 CBC1CBC_{1} 为面的二面角 α\alpha 的度数.

1994 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
已知直线 ll 过坐标原点，抛物线 CC 顶点在原点，焦点在 xx 轴正半轴上. 若点 A(−1,0)A(-1,0) 和点 B(0,8)B(0,8) 关于 ll 的对称点都在 CC 上，求直线 ll 和抛物线 CC 的方程.

1994 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★★☆
设 {an}\{a_{n}\} 是正数组成的数列，其前 nn 项和为 SnS_{n}，且对于所有的自然数 nn，ana_{n} 与 22 的等差中项等于 SnS_{n} 与 22 的等比中项.
(1) 写出数列 {an}\{a_{n}\} 的前 33 项； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式（写出推证过程）； (3) 令 bn=12(an+1an+anan+1)b_{n} = \frac{1}{2}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)（n∈Nn \in \mathbb{N}），求 lim⁡n→∞(b1+b2+⋯+bn−n)\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} - n\right).

1994 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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