设 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且对于所有的自然数 $n$，$a_{n}$ 与 $2$ 的等差中项等于 $S_{n}$ 与 $2$ 的等比中项.

(1) 写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $3$ 项； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式（写出推证过程）； (3) 令 $b_{n} = \frac{1}{2}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$（$n \in \mathbb{N}$），求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} - n\right)$.