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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 A={1,3}A=\{1,3\}，B={1,2,a}B=\{1,2,a\}，若 A⊆BA\subseteq B，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 1x>3\dfrac{1}{x}>3 的解集为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
函数 y=tan⁡2xy=\tan 2x 的最小正周期为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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04复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 z+2zˉ=6+iz+2\bar z=6+\mathrm{i}，则 zz 的实部为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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05三角函数★★☆☆☆
已知 3sin⁡2x=2sin⁡x3\sin 2x=2\sin x，x∈(0,π)x\in(0,\pi)，则 x=‾x=\underline{\hspace{2em}}.

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=a⋅3x+13xy=a\cdot3^x+\dfrac{1}{3^x} 为偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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07解析几何★★☆☆☆
已知直线 l1:x+ay=1l_1:x+ay=1，l2:ax+y=1l_2:ax+y=1，若 l1∥l2l_1\parallel l_2，则 l1l_1 与 l2l_2 的距离为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知二项式 (2x+x)5(2x+\sqrt{x})^5，则展开式中 x3x^3 的系数为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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09平面向量★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 是 BCBC 中点，AB=2AB=2，BC=3BC=3，AC=4AC=4，则 AD→⋅AB→=‾\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=\underline{\hspace{2em}}.

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}，aa，b∈Ab\in A，则 ∣a∣<∣b∣|a|<|b| 的情况有 ‾\underline{\hspace{2em}} 种.

2020 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★★★★☆
已知 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5 五个点，满足 AnAn+1→⋅An+1An+2→=0\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\overrightarrow{A_{n+1}A_{n+2}}=0 （n=1n=1，22，33），∣AnAn+1∣⋅∣An+1An+2∣=n+1|A_nA_{n+1}|\cdot|A_{n+1}A_{n+2}|=n+1 （n=1n=1，22，33），则 ∣A1A5∣|A_1A_5| 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}，其反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 f−1(x)−a=f(x+a)f^{-1}(x)-a=f(x+a) 有实数根，则 aa 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
计算 lim⁡n→∞3n+5n3n−1+5n−1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}=（ ）.
A.
33
B.
53\dfrac{5}{3}
C.
35\dfrac{3}{5}
D.
55

2020 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
“α=β\alpha=\beta”是“sin⁡2α+cos⁡2β=1\sin^2\alpha+\cos^2\beta=1”的（ ）.
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，作垂直于 xx 轴的垂线交椭圆于 AA，BB 两点，作垂直于 yy 轴的垂线交椭圆于 CC，DD 两点，且 AB=CDAB=CD，两垂线相交于点 PP，则点 PP 的轨迹是（ ）.
A.
椭圆
B.
双曲线
C.
圆
D.
抛物线

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 各项均为实数，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^* 满足 an+3=ana_{n+3}=a_n，且行列式
∣anan+1an+2an+3∣=c\begin{vmatrix}a_n&a_{n+1}\\a_{n+2}&a_{n+3}\end{vmatrix}=c
为定值，则下列选项中不可能的是（ ）.
A.
a1=1,c=1a_1=1,c=1
B.
a1=2,c=2a_1=2,c=2
C.
a1=−1,c=4a_1=-1,c=4
D.
a1=2,c=0a_1=2,c=0

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD，底面 ABCDABCD 为正方形，边长为 33，PD⊥PD\perp 平面 ABCDABCD.
(1) 若 PC=5PC=5，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积； (2) 若直线 ADAD 与 BPBP 的夹角为 60∘60^\circ，求 PDPD 的长.

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18数列★★★☆☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_n\}，其前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1=1.
(1) 若数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，S10=70S_{10}=70，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 为等比数列，a4=18a_4=\dfrac{1}{8}，求满足 Sn>100anS_n>100a_n 时 nn 的最小值.

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19函数与初等函数★★★☆☆
有一条长为 120120 米的步行道 OAOA，AA 是垃圾投放点 ω1\omega_1，若以 OO 为原点，OAOA 为 xx 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B(x,0)B(x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)\omega_2(t,0)，函数 ft(x)f_t(x) 表示与 BB 点距离最近的垃圾投放点的距离.
(1) 若 t=60t=60，求 f60(10)f_{60}(10)，f60(80)f_{60}(80)，f60(95)f_{60}(95) 的值，并写出 f60(x)f_{60}(x) 的函数解析式； (2) 若可以通过 ft(x)f_t(x) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. 问：垃圾投放点 ω2\omega_2 建在何处才能比建在中点时更加便利？

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 y2=xy^2=x 上的动点 M(x0,y0)M(x_0,y_0)，过 MM 分别作两条直线交抛物线于 PP，QQ 两点，交直线 x=tx=t 于 AA，BB 两点.
(1) 若点 MM 纵坐标为 2\sqrt{2}，求 MM 与焦点的距离； (2) 若 t=−1t=-1，P(1,1)P(1,1)，Q(1,−1)Q(1,-1)，求证：yA⋅yBy_A\cdot y_B 为常数； (3) 是否存在 tt，使得 yA⋅yB=1y_A\cdot y_B=1 且 yP⋅yQy_P\cdot y_Q 为常数？若存在，求出 tt 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★☆
已知非空集合 A⊆RA\subseteq\mathbf{R}，函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 DD，若对任意 t∈At\in A 且 x∈Dx\in D，不等式 f(x)≥f(x+t)f(x)\geq f(x+t) 恒成立，则称函数 f(x)f(x) 具有 AA 性质.
(1) 当 A={−1}A=\{-1\}，判断 f(x)=−xf(x)=-x，g(x)=2xg(x)=2^x 是否具有 AA 性质； (2) 当 A=(0,1)A=(0,1)，f(x)=x+1xf(x)=x+\dfrac{1}{x}，x∈[a,+∞)x\in[a,+\infty)，若 f(x)f(x) 具有 AA 性质，求 aa 的取值范围； (3) 当 A={−2,m}A=\{-2,m\}，m∈Zm\in\mathbf{Z}，若 DD 为整数集且具有 AA 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 mm 的值.

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