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06函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=a⋅3x+13xy=a\cdot3^x+\dfrac{1}{3^x} 为偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}，其反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 f−1(x)−a=f(x+a)f^{-1}(x)-a=f(x+a) 有实数根，则 aa 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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19函数与初等函数★★★☆☆
有一条长为 120120 米的步行道 OAOA，AA 是垃圾投放点 ω1\omega_1，若以 OO 为原点，OAOA 为 xx 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B(x,0)B(x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)\omega_2(t,0)，函数 ft(x)f_t(x) 表示与 BB 点距离最近的垃圾投放点的距离.
(1) 若 t=60t=60，求 f60(10)f_{60}(10)，f60(80)f_{60}(80)，f60(95)f_{60}(95) 的值，并写出 f60(x)f_{60}(x) 的函数解析式； (2) 若可以通过 ft(x)f_t(x) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. 问：垃圾投放点 ω2\omega_2 建在何处才能比建在中点时更加便利？

2020 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知非空集合 A⊆RA\subseteq\mathbf{R}，函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 DD，若对任意 t∈At\in A 且 x∈Dx\in D，不等式 f(x)≥f(x+t)f(x)\geq f(x+t) 恒成立，则称函数 f(x)f(x) 具有 AA 性质.
(1) 当 A={−1}A=\{-1\}，判断 f(x)=−xf(x)=-x，g(x)=2xg(x)=2^x 是否具有 AA 性质； (2) 当 A=(0,1)A=(0,1)，f(x)=x+1xf(x)=x+\dfrac{1}{x}，x∈[a,+∞)x\in[a,+\infty)，若 f(x)f(x) 具有 AA 性质，求 aa 的取值范围； (3) 当 A={−2,m}A=\{-2,m\}，m∈Zm\in\mathbf{Z}，若 DD 为整数集且具有 AA 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 mm 的值.

2020 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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