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10导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有极值点 x1x_1，x2x_2，且 f(x1)=x1f(x_1) = x_1，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实数根个数是（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2013 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 fn(x)=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}} （x∈Rx \in \mathbf{R}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）. 证明：
(1) 对每个 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，存在唯一的 xn∈[23,1]x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]，满足 fn(xn)=0f_n(x_n) = 0； (2) 对任意 p∈N∗p \in \mathbf{N}^*，由上一问中 xnx_n 构成的数列 {xn}\{x_n\} 满足 0<xn−xn+p<1n0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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