已知函数 $f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$.

(1) 证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数； (2) 证明：对于任意不小于 $3$ 的自然数 $n$，都有 $f(n)>\frac{n}{n+1}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $x_2>x_1$，则 $2^{x_2}>2^{x_1}>0$. 因而 $f(x_2)-f(x_1)=\frac{2^{x_2}-1}{2^{x_2}+1}-\frac{2^{x_1}-1}{2^{x_1}+1}=\frac{2\left(2^{x_2}-2^{x_1}\right)}{\left(2^{x_2}+1\right)\left(2^{x_1}+1\right)}>0$. 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数. \item 因为 $2^n+1>0$ 且 $n+1>0$，不等式 $f(n)>\frac{n}{n+1}$ 等价于 $(n+1)(2^n-1)>n(2^n+1)$，即 $2^n>2n+1$. 当 $n=3$ 时，$2^3=8>7=2\cdot3+1$. 若对某个 $n\geqslant3$ 有 $2^n>2n+1$，则 $2^{n+1}>4n+2>2n+3=2(n+1)+1$. 由数学归纳法，任意不小于 $3$ 的自然数 $n$ 都满足 $2^n>2n+1$，从而 $f(n)>\frac{n}{n+1}$. \end{enumerate} \end{solution}