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01复数★☆☆☆☆
3+i1+i=\dfrac{3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=（ ）
A.
1+2i1+2\mathrm{i}
B.
1−2i1-2\mathrm{i}
C.
2+i2+\mathrm{i}
D.
2−i2-\mathrm{i}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2,4}A=\{1,2,4\}，B={x∣x2−4x+m=0}B=\{x\mid x^2-4x+m=0\}. 若 A∩B={1}A\cap B=\{1\}，则 B=B=（ ）
A.
{1,−3}\{1,-3\}
B.
{1,0}\{1,0\}
C.
{1,3}\{1,3\}
D.
{1,5}\{1,5\}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层7\text{ 层}塔共挂了 381 盏381\text{ 盏}灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍2\text{ 倍}，则塔的顶层共有灯（ ）
A.
1 盏1\text{ 盏}
B.
3 盏3\text{ 盏}
C.
5 盏5\text{ 盏}
D.
9 盏9\text{ 盏}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上小正方形的边长为 11，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A.
90π90\pi
B.
63π63\pi
C.
42π42\pi
D.
36π36\pi

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{2x+3y−3≤0,2x−3y+3≥0,y+3≥0\begin{cases} 2x+3y-3\le 0,\\ 2x-3y+3\ge 0,\\ y+3\ge 0 \end{cases}
则 z=2x+yz=2x+y 的最小值是（ ）
A.
−15-15
B.
−9-9
C.
11
D.
99

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
安排 3 名3\text{ 名}志愿者完成 4 项4\text{ 项}工作，每人至少完成 1 项1\text{ 项}，每项工作由 1 人1\text{ 人}完成，则不同的安排方式共有（ ）
A.
12 种12\text{ 种}
B.
18 种18\text{ 种}
C.
24 种24\text{ 种}
D.
36 种36\text{ 种}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙，丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩. 老师说：你们四人中有 22 位优秀，22 位良好，我现在给甲看乙，丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则（ ）
A.
乙可以知道四人的成绩
B.
丁可以知道四人的成绩
C.
乙，丁可以知道对方的成绩
D.
乙，丁可以知道自己的成绩

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 a=−1a=-1，则输出的 S=S=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
若双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线被圆 (x−2)2+y2=4(x-2)^2+y^2=4 所截得的弦长为 22，则 CC 的离心率为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt3
C.
2\sqrt2
D.
233\dfrac{2\sqrt3}{3}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ，AB=2AB=2，BC=CC1=1BC=CC_1=1，则异面直线 AB1AB_1 与 BC1BC_1 所成角的余弦值为（ ）
A.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
B.
155\dfrac{\sqrt{15}}{5}
C.
105\dfrac{\sqrt{10}}{5}
D.
33\dfrac{\sqrt3}{3}

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
若 x=−2x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax−1)ex−1f(x)=(x^2+ax-1)\mathrm{e}^{x-1} 的极值点，则 f(x)f(x) 的极小值为（ ）
A.
−1-1
B.
−2e−3-2\mathrm{e}^{-3}
C.
5e−35\mathrm{e}^{-3}
D.
11

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，PP 为平面 ABCABC 内一点，则 PA→⋅(PB→+PC→)\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}) 的最小值是（ ）
A.
−2-2
B.
−32-\dfrac32
C.
−43-\dfrac43
D.
−1-1

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
一批产品的二等品率为 0.020.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次100\text{ 次}. XX 表示抽到的二等品件数，则 D(X)=D(X)=______

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡2x+3cos⁡x−34f(x)=\sin^2x+\sqrt3\cos x-\dfrac34（x∈[0,π2]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]）的最大值是______

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a3=3a_3=3，S4=10S_4=10，则 ∑k=1n1Sk=\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac1{S_k}=______

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知 FF 是抛物线 C:y2=8xC:y^2=8x 的焦点，MM 是 CC 上一点，FMFM 的延长线交 yy 轴于点 NN. 若 MM 为 FNFN 的中点，则 ∣FN∣=|FN|=______

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡(A+C)=8sin⁡2B2\sin(A+C)=8\sin^2\dfrac B2.
(1) 求 cos⁡B\cos B； (2) 若 a+c=6a+c=6，△ABC\triangle ABC 的面积为 22，求 bb.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个100\text{ 个}网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg\mathrm{kg}），其频率分布直方图如图：
(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 AA 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg50 \mathrm{~kg}，新养殖法的箱产量不低于 50 kg50 \mathrm{~kg}”，估计 AA 的概率； (2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%99\% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量 <50 kg<50 \mathrm{~kg}箱产量 ≥50 kg\ge 50 \mathrm{~kg}
新养殖法
(3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.010.01）.
附：
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001
另参考公式 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，侧面 PADPAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCDABCD，AB=BC=12ADAB=BC=\dfrac12AD，∠BAD=∠ABC=90∘\angle BAD=\angle ABC=90^\circ，EE 是 PDPD 的中点.
(1) 证明：直线 CE∥CE\parallel 平面 PABPAB； (2) 点 MM 在棱 PCPC 上，且直线 BMBM 与底面 ABCDABCD 所成角为 45∘45^\circ，求二面角 M−AB−DM-AB-D 的余弦值.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，动点 MM 在椭圆 C:x22+y2=1C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 上，过 MM 作 xx 轴的垂线，垂足为 NN，点 PP 满足 NP→=2 NM→\overrightarrow{NP}=\sqrt2\,\overrightarrow{NM}.
(1) 求点 PP 的轨迹方程； (2) 设点 QQ 在直线 x=−3x=-3 上，且 OP→⋅PQ→=1\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1. 证明：过点 PP 且垂直于 OQOQ 的直线 ll 过 CC 的左焦点 FF.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax2−ax−xln⁡xf(x)=ax^2-ax-x\ln x，且 f(x)≥0f(x)\ge 0.
(1) 求 aa； (2) 证明：f(x)f(x) 存在唯一的极大值点 x0x_0，且 e−2<f(x0)<2−2\mathrm{e}^{-2}<f(x_0)<2^{-2}.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρcos⁡θ=4\rho\cos\theta=4.
(1) MM 为曲线 C1C_1 上的动点，点 PP 在线段 OMOM 上，且满足 ∣OM∣⋅∣OP∣=16|OM|\cdot|OP|=16，求点 PP 的轨迹 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 设点 AA 的极坐标为 (2,π3)\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)，点 BB 在曲线 C2C_2 上，求 △OAB\triangle OAB 面积的最大值.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，a3+b3=2a^3+b^3=2. 证明：
(1) (a+b)(a5+b5)≥4(a+b)(a^5+b^5)\ge 4； (2) a+b≤2a+b\le 2.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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