某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 $r\text{ 米}$，高为 $h\text{ 米}$，体积为 $V\text{ 立方米}$. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 $100\text{ 元/平方米}$，底面的建造成本为 $160\text{ 元/平方米}$，该蓄水池的总建造成本为 $12000\pi\text{ 元}$（$\pi$ 为圆周率）.

(1) 将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V(r)$，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 $V(r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 $2\pi rh$，底面积为 $\pi r^2$，故成本条件为 约去 $40\pi$，得 $5rh+4r^2=300$，$h=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r$. 因为 $r>0$ 且水池高度必须为正，需有 又 $V=\pi r^2h$，所以 $V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)$，$0<r<5\sqrt3$. \item 求导得 在 $(0,5)$ 上，$V'(r)>0$，所以 $V(r)$ 递增；在 $(5,5\sqrt3)$ 上，$V'(r)<0$，所以 $V(r)$ 递减. 因此最大值在 $r=5$ 处取得. 代入高度公式： 故体积最大时 $r=5$ 米、$h=8$ 米. \end{enumerate} \end{solution}