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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,k}A=\{1,2,k\}，B={2,5}B=\{2,5\}. 若 A∪B={1,2,3,5}A\cup B=\{1,2,3,5\}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x+1y=\sqrt{x+1} 的定义域为______.

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03解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=8xy^2=8x 的焦点坐标为______.

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04复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 iz=1+i\mathrm{i} z=1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z=‾z=\underline{\hspace{2em}}.

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05三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+π4)f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期为______.

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06指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 4x−2x+1=04^x-2^{x+1}=0 的解为______.

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07计数原理与组合数学★☆☆☆☆
若 (2x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(2x-1)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=‾a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\underline{\hspace{2em}}.

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=(x+2)(x+m)xf(x)=\dfrac{(x+2)(x+m)}{x} 为奇函数，则实数 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

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09函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=log⁡2x+4log⁡2xy=\log_2 x+\dfrac{4}{\log_2 x}（x∈[2,4]x\in[2,4]）的最大值是______.

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10复数★★☆☆☆
若复数 zz 满足 ∣z−i∣≤2|z-\mathrm{i}|\le\sqrt2（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 zz 在复平面内所对应的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
某校要从 22 名男生和 44 名女生中选出 44 人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男，女都有的概率为______（结果用数值表示）.

2012 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若不等式 x2−kx+k−1>0x^2-kx+k-1>0 对 x∈(1,2)x\in(1,2) 恒成立，则实数 kk 的取值范围是______.

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13数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项及公差均为正数，令 bn=an+a2012−nb_n=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{2012-n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n<2012n<2012）. 当 bkb_k 是数列 {bn}\{b_n\} 的最大项时，k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
若矩阵
(a11a12a21a22)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}
满足：a11a_{11}，a12a_{12}，a21a_{21}，a22∈{−1,1}a_{22}\in\{-1,1\}，且
∣a11a12a21a22∣=0\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0
，则这样的互不相等的矩阵共有______ 个.

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15解析几何★★☆☆☆
已知椭圆 C1:x212+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1，C2:x216+y28=1C_2:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1，则（ ）
A.
C1C_1 与 C2C_2 顶点相同.
B.
C1C_1 与 C2C_2 长轴长相等.
C.
C1C_1 与 C2C_2 短轴长相等.
D.
C1C_1 与 C2C_2 焦距相等.

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16函数与初等函数★☆☆☆☆
记函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x). 如果函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,0)(1,0)，那么函数 y=f−1(x)+1y=f^{-1}(x)+1 的图像过点（ ）
A.
(0,0)(0,0).
B.
(0,2)(0,2).
C.
(1,1)(1,1).
D.
(2,0)(2,0).

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17立体几何初步★★☆☆☆
已知空间三条直线 ll，mm，nn. 若 ll 与 mm 异面，且 ll 与 nn 异面，则（ ）
A.
mm 与 nn 异面.
B.
mm 与 nn 相交.
C.
mm 与 nn 平行.
D.
mm 与 nn 异面，相交，平行均有可能.

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18平面向量★★★☆☆
设 OO 为 △ABC\triangle ABC 所在平面上一点. 若实数 xx，yy，zz 满足 xOA→+yOB→+zOC→=0→x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}（x2+y2+z2≠0x^2+y^2+z^2\ne0），则“xyz=0xyz=0”是“点 OO 在 △ABC\triangle ABC 的边所在直线上”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既不充分又不必要条件.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 11，高为 22，MM 为线段 ABAB 的中点. 求：
(1) 三棱锥 C1−MBCC_1-MBC 的体积； (2) 异面直线 CDCD 与 MC1MC_1 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

2012 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
某环线地铁按内，外环线同时运行，内，外环线的长均为 30 千米30\text{ 千米}（忽略内，外环线长度差异）.
(1) 当 99 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟10\text{ 分钟}，求内环线列车的最小平均速度； (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时25\text{ 千米/小时}，外环线列车平均速度为 30 千米/小时30\text{ 千米/小时}. 现内，外环线共有 1818 列列车全部投入运行，要使内，外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟1\text{ 分钟}，问：内，外环线应各投入几列列车运行？

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21解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C1:x2−y24=1C_1:x^2-\dfrac{y^2}{4}=1.
(1) 求与双曲线 C1C_1 有相同的焦点，且过点 P(4,3)P(4,\sqrt3) 的双曲线 C2C_2 的标准方程； (2) 直线 l:y=x+ml:y=x+m 分别交双曲线 C1C_1 的两条渐近线于 AA，BB 两点. 当 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3 时，求实数 mm 的值.

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 满足 (an+1−an)(bn+1−bn)=cn(a_{n+1}-a_n)(b_{n+1}-b_n)=c_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 设 cn=3n+6c_n=3n+6，{an}\{a_n\} 是公差为 33 的等差数列. 当 b1=1b_1=1 时，求 b2b_2，b3b_3 的值； (2) 设 cn=n3c_n=n^3，an=n2−8na_n=n^2-8n，求正整数 kk，使得一切 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 bn≥bkb_n\ge b_k； (3) 设 cn=2n+nc_n=2^n+n，an=1+(−1)n2a_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}. 当 b1=1b_1=1 时，求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

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23三角函数★★★★★
定义向量 OM→=(a,b)\overrightarrow{OM}=(a,b) 的“相伴函数”为 f(x)=asin⁡x+bcos⁡xf(x)=a\sin x+b\cos x；函数 f(x)=asin⁡x+bcos⁡xf(x)=a\sin x+b\cos x 的“相伴向量”为 OM→=(a,b)\overrightarrow{OM}=(a,b)（其中 OO 为坐标原点）. 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 SS.
(1) 设 g(x)=3sin⁡(x+π2)+4sin⁡xg(x)=3\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+4\sin x，求证：g(x)∈Sg(x)\in S； (2) 已知 h(x)=cos⁡(x+α)+2cos⁡xh(x)=\cos(x+\alpha)+2\cos x，且 h(x)∈Sh(x)\in S，求其“相伴向量”的模； (3) 已知 M(a,b)M(a,b)（b≠0b\ne0）为圆 C:(x−2)2+y2=1C:(x-2)^2+y^2=1 上一点，向量 OM→\overrightarrow{OM} 的“相伴函数” f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处取到最大值. 当点 MM 在圆 CC 上运动时，求 tan⁡2x0\tan 2x_0 的取值范围.

2012 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 解答题

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